Prove que, dado o triângulo A B C, tem-se
\operatorname{tg} \frac{\widehat{B}-\widehat{C}}{2}=\frac{b-c}{b+c} \cdot \operatorname{cotg} \frac{\widehat{A}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar, num triângulo ABC com lados opostos a, b, c e ângulos \widehat A, \widehat B, \widehat C), que
\tan\frac{\widehat B-\widehat C}{2} =\frac{b-c}{b+c}\,\cot\frac{\widehat A}{2}.
Para isso usaremos a Lei dos Senos para escrever b e c em função de \sin\widehat B e \sin\widehat C, e em seguida aplica­remos as fórmulas de soma e diferença de senos (soma-para-produto).

Passo 2

Pela Lei dos Senos, existe constante k tal que
b = k\,\sin\widehat B, \quad c = k\,\sin\widehat C.
Logo
\frac{b-c}{b+c} =\frac{\sin\widehat B - \sin\widehat C}{\sin\widehat B + \sin\widehat C}.

Passo 3

Aplicamos as fórmulas de soma-para-produto:
\sin\widehat B - \sin\widehat C =2\cos\!\bigl(\tfrac{\widehat B+\widehat C}{2}\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{\widehat B-\widehat C}{2}\bigr),
\sin\widehat B + \sin\widehat C =2\sin\!\bigl(\tfrac{\widehat B+\widehat C}{2}\bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{\widehat B-\widehat C}{2}\bigr).
Como \widehat B+\widehat C=180^\circ-\widehat A, temos
\cos\!\bigl(\tfrac{\widehat B+\widehat C}{2}\bigr) =\cos\!\bigl(90^\circ-\tfrac{\widehat A}{2}\bigr) =\sin\!\tfrac{\widehat A}{2},
\sin\!\bigl(\tfrac{\widehat B+\widehat C}{2}\bigr) =\sin\!\bigl(90^\circ-\tfrac{\widehat A}{2}\bigr) =\cos\!\tfrac{\widehat A}{2}.

Passo 4

Substituindo em \dfrac{\sin B-\sin C}{\sin B+\sin C}, obtemos
\frac{\sin\widehat B - \sin\widehat C}{\sin\widehat B + \sin\widehat C} =\frac{2\sin(\tfrac{\widehat A}{2})\,\sin(\tfrac{\widehat B-\widehat C}{2})} {2\cos(\tfrac{\widehat A}{2})\,\cos(\tfrac{\widehat B-\widehat C}{2})} =\tan\!\tfrac{\widehat A}{2}\;\tan\!\tfrac{\widehat B-\widehat C}{2}.
Como isso é igual a \frac{b-c}{b+c}, segue
\frac{b-c}{b+c} =\tan\!\tfrac{\widehat A}{2}\;\tan\!\tfrac{\widehat B-\widehat C}{2} \;\Longrightarrow\; \tan\!\tfrac{\widehat B-\widehat C}{2} =\frac{b-c}{b+c}\,\cot\!\tfrac{\widehat A}{2}.

Resposta

\tan\frac{\widehat B-\widehat C}{2} =\frac{b-c}{b+c}\,\cot\frac{\widehat A}{2}.

Exercícios relacionados