Prove que dados alpha, m, n constantes mostre que existem A e B tais que:
m x+n(x-alpha)^2=Ax-alpha+B(x-alpha)^2
integral x^4+x+1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) provar que para constantes α, m e n existem A e B tais que
m x + n(x - alpha)^2 = Ax - alpha + B(x - alpha)^2,
(2) calcular a integral
integral x^4 + x + 1x^3 - x , dx
O tema é decomposição em frações parciais e integração de funções racionais. Vamos usar: método de igualação de coeficientes e divisão polinomial seguida de frações parciais.

Passo 2

Para mostrar a identidade, multiplica-se ambos os lados por
(x - alpha)^2 e obtém-se a equação
x
Igualando coeficientes de A = m e constantes resulta:
-Aalpha + B = n e B = n + malpha, ou seja A = m. Assim existem B = n + malpha e .

Passo 3

Na integral, note que o denominador se fatoriza como
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)
Como o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), fazemos divisão polinomial:
x^4 + x + 1x^3 - x = x + x^2 + x + 1x(x - 1)(x + 1)

Passo 4

A fração restante
x^2 + x + 1x(x - 1)(x + 1) é decomponível em
x^2 + x + 1x(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx - 1 + Cx + 1
Multiplicando por x(x - 1)(x + 1) e igualando coeficientes de x^2, x, 1 obtemos o sistema:
A + B + C = 1,
B - C = 1,
-A = 1
Daí A = -1, B = 3/2, C = 1/2.

Passo 5

Substituindo de volta, o integrando fica
x - 1x + 3/2x - 1 + 1/2x + 1
Agora integramos termo a termo usando:


Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, chegamos ao antiderivado da função dada.

Resposta

x^22 - lnlvert xrvert + 32 lnlvert x - 1rvert + 12 lnlvert x + 1rvert + C

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