Prove que dados
constantes mostre que existem
e
tais que:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) provar que para constantes α, m e n existem A e B tais que
(2) calcular a integral
O tema é decomposição em frações parciais e integração de funções racionais. Vamos usar: método de igualação de coeficientes e divisão polinomial seguida de frações parciais.
Passo 2
Para mostrar a identidade, multiplica-se ambos os lados por
e obtém-se a equação
Igualando coeficientes de e constantes resulta:
e
, ou seja
. Assim existem
e
.
Igualando coeficientes de
Passo 3
Na integral, note que o denominador se fatoriza como
Como o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), fazemos divisão polinomial:
Passo 4
A fração restante
é decomponível em
Multiplicando por
e igualando coeficientes de
obtemos o sistema:
Daí ,
,
.
Daí
Passo 5
Substituindo de volta, o integrando fica
Agora integramos termo a termo usando:
Passo 6
Somando os resultados e incluindo a constante de integração
, chegamos ao antiderivado da função dada.