Prove que dados alpha, m, n constantes mostre que existem A e B tais que:
m x+n(x-alpha)^2=Ax-alpha+B(x-alpha)^2

Passo 1

O enunciado pede pra decompor a fração m x + n(x - alpha)^2 em frações parciais na forma Ax-alpha + B(x-alpha)^2. Isso envolve o conteúdo de decomposição em frações parciais e equação de coeficientes.

Passo 2

Propomos o formato da decomposição:
m x + n(x - alpha)^2 = Ax - alpha + B(x - alpha)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-alpha)^2 para eliminar denominadores:
m x + n = A(x - alpha) + B

Passo 4

Expandimos e agrupamos termos de x e constantes:
A(x - alpha) + B = A x - Aalpha + B = A x + (B - Aalpha)
Logo,
m x + n = A x + (B - Aalpha)

Passo 5

Igualamos coeficientes de x e termo independente:
  • De x: m = A.
  • Constante: n = B - Aalpha.
    Substituindo A = m na segunda, temos B = n + malpha.

Resposta

A = m e B = n + malpha.

Exercícios relacionados