Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por
é girada em torno do eixo x.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas $ y = \frac{1}{\sqrt{x(3 - x)}} $, $ y = 0 $, $ x = 1 $ e $ x = 2 $ é girada em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Imagine que você corta o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo da rotação (nesse caso, o eixo $ x $). Cada fatia forma um disco. O volume total do sólido é a soma dos volumes desses discos. A fórmula para o volume de um disco é:
Onde $ r $ é o raio do disco e $ \Delta x $ é a espessura da fatia.
Passo 3
No nosso caso, o raio $ r $ de cada disco é dado pela função $ y = \frac{1}{\sqrt{x(3 - x)}} $. Então, o volume de cada disco será:
Simplificando a expressão do raio ao quadrado:
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão no intervalo de $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Primeiro, simplificamos o denominador:
Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos rearranjar o denominador:
Isso nos sugere uma substituição u-substituição, mas para simplificar, vamos usar frações parciais.
Passo 6
Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ x(3 - x) $:
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = 3 $:
Então, temos:
Passo 7
Agora, podemos reescrever a integral usando as frações parciais:
Vamos separar a integral:
Passo 8
Vamos resolver cada integral individualmente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição $ u = 3 - x $, então $ du = -dx $:
Passo 9
Aplicando os limites de integração, temos:
Calculando cada parte:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 10
Então, o volume fica:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{2\pi}{3} \ln 2 $ unidades cúbicas.