Encontre o volume do sólido gerado quando a região limitada por y=1raizx(3-x), y=0, x=1, e x=2 é girada em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região delimitada pelas curvas $ y = \frac{1}{\sqrt{x(3 - x)}} $, $ y = 0 $, $ x = 1 $ e $ x = 2 $ é girada em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Imagine que você corta o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo da rotação (nesse caso, o eixo $ x $). Cada fatia forma um disco. O volume total do sólido é a soma dos volumes desses discos. A fórmula para o volume de um disco é:
x
Onde $ r $ é o raio do disco e $ \Delta x $ é a espessura da fatia.

Passo 3

No nosso caso, o raio $ r $ de cada disco é dado pela função $ y = \frac{1}{\sqrt{x(3 - x)}} $. Então, o volume de cada disco será:
r
Simplificando a expressão do raio ao quadrado:
y = 1raizx(3 - x)

Passo 4

Agora, para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão no intervalo de $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
x = 1

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Primeiro, simplificamos o denominador:
1x(3 - x) = 13x - x^2
Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos rearranjar o denominador:
3x - x^2 = -x^2 + 3x = -(x^2 - 3x)
Isso nos sugere uma substituição u-substituição, mas para simplificar, vamos usar frações parciais.

Passo 6

Vamos decompor a fração em frações parciais:
1x(3 - x) = Ax + B3 - x
Multiplicando ambos os lados por $ x(3 - x) $:
x(3 - x)
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $ e $ B $:
  • Para $ x = 0 $:
1 = A(3 - x) + Bx
  • Para $ x = 3 $:
A
Então, temos:
B

Passo 7

Agora, podemos reescrever a integral usando as frações parciais:
V = pi integral1^2 ( 13x + 13(3 - x) ) dx
Vamos separar a integral:
V = pi3 integral1^2 1x dx + pi3 integral1^2 13 - x dx

Passo 8

Vamos resolver cada integral individualmente.
Para a primeira integral:
integral 1x dx = ln|x| + C
Para a segunda integral, fazemos uma substituição $ u = 3 - x $, então $ du = -dx $:
u = 3 - x

Passo 9

Aplicando os limites de integração, temos:
V = pi3 [ ln|x| ]1^2 + pi3 [ -ln|3 - x| ]1^2
Calculando cada parte:
Para a primeira parte:
ln|2| - ln|1| = ln 2 - 0 = ln 2
Para a segunda parte:
-ln|3 - 2| + ln|3 - 1| = -ln 1 + ln 2 = 0 + ln 2 = ln 2

Passo 10

Então, o volume fica:
V = pi3 (ln 2 + ln 2) = pi3 (2 ln 2) = 2pi3 ln 2

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{2\pi}{3} \ln 2 $ unidades cúbicas.

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