Prove a Desigualdade de Lagrange:
\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right)^{2} \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right)
para quaisquer u=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), v=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade de Lagrange (ou Cauchy–Schwarz) em \mathbb{R}^n:
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\Bigr)^{2}\le\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr).
O conteúdo usado será a positividade da norma e propriedades de polinômios quadráticos.

Passo 2

Definimos a função de variável real t
f(t)=\bigl\|\,t\,u+v\bigr\|^{2}
onde u=(x_{1},\dots,x_{n}) e v=(y_{1},\dots,y_{n}). Como norma quadrada é sempre não negativa, temos
f(t)\ge0\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Expandindo f(t) pelo produto interno:
f(t) =\langle t\,u+v,\;t\,u+v\rangle =t^{2}\langle u,u\rangle+2t\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle.
Isto é,
f(t) =t^{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} +2\,t\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} +\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}.

Passo 4

Como f(t) é um polinômio de segundo grau não negativo para todo t, seu discriminante deve satisfazer
\Delta =\bigl(2\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\bigr)^{2} -4\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr) \le0.
Daí vem
4\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\Bigr)^{2} \le4\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr),
que implica
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\Bigr)^{2} \le\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr).

Resposta

A desigualdade de Lagrange está provada:
\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\Bigr)^{2} \le\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\Bigr)\Bigl(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}\Bigr).

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