Prove a Desigualdade de Lagrange:
para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Lagrange (ou Cauchy–Schwarz) em
:
O conteúdo usado será a positividade da norma e propriedades de polinômios quadráticos.
Passo 2
Definimos a função de variável real
onde
e
. Como norma quadrada é sempre não negativa, temos
Passo 3
Expandindo
pelo produto interno:
Isto é,
Passo 4
Como
é um polinômio de segundo grau não negativo para todo
, seu discriminante deve satisfazer
Daí vem
que implica
Resposta
A desigualdade de Lagrange está provada: