Determine uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços do \mathbb{R}^{4} munido do produto interno usual:
V^{\perp}, onde V=[(1,0,1,1),(1,1,2,0)].

Passo 1

O problema pede uma base ortonormal de V^{\perp} em \mathbb{R}^4 com o produto interno usual
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4,
onde
V = \bigl\langle (1,0,1,1),\;(1,1,2,0)\bigr\rangle.
Para achar V^{\perp} precisamos resolver
\langle x,v_1\rangle = 0, \quad \langle x,v_2\rangle = 0,
com v_1=(1,0,1,1), v_2=(1,1,2,0) e x=(x_1,x_2,x_3,x_4).

Passo 2

Escrevendo as duas condições de ortogonalidade, temos
\langle x,v_1\rangle = x_1 + x_3 + x_4 = 0,
\langle x,v_2\rangle = x_1 + x_2 + 2x_3 = 0.

Passo 3

Resolvendo esse sistema, de \,x_1 + x_3 + x_4 = 0 segue
x_1 = -\,x_3 - x_4,
e substituindo em x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 obtemos
(-x_3 - x_4) + x_2 + 2x_3 = 0 \;\Longrightarrow\; x_2 = x_4 - x_3.
Logo o vetor genérico de V^{\perp} é
x = (x_1,x_2,x_3,x_4) = (-a-b,\;b-a,\;a,\;b),
onde a=x_3 e b=x_4.

Passo 4

Dessa parametrização, duas escolhas independentes são
u_1 = (-1,-1,1,0) \quad\text{(tomando \(a=1,b=0\))},
u_2 = (-1,1,0,1) \quad\text{(tomando \(a=0,b=1\))}.
Verificamos que
\langle u_1,u_2\rangle = (-1)(-1)+(-1)(1)+1\cdot0+0\cdot1 =1 -1 + 0 +0 = 0,
ou seja, u_1 e u_2 são ortogonais.
Suas normas são
\|u_1\| = \sqrt{1+1+1+0} = \sqrt{3}, \quad \|u_2\| = \sqrt{1+1+0+1} = \sqrt{3}.

Passo 5

Para tornar ortonormais, normalizamos cada vetor por \sqrt{3}. Assim uma base ortonormal de V^{\perp} é
e_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(-1,-1,1,0), \qquad e_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(-1,1,0,1).

Resposta

\Bigl\{\, \tfrac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1,0), \;\; \tfrac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,0,1) \Bigr\}

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