Reduza a uma soma de quadrados as formas quadráticas abaixo:
q\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4 x_{1} x_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática
q(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4x_{1}x_{2}
e pede para reduzi-la a uma soma de quadrados. O conteúdo é diagonalização de forma quadrática por mudança de variáveis (idealmente ortogonal), usando o fato de que toda forma simétrica q(x)=x^{T}Ax se reduz a
q(y)=\lambda_{1}y_{1}^{2}+\lambda_{2}y_{2}^{2}
no sistema de coordenadas dado pelos autovetores de A.

Passo 2

Associamos à forma o matriz simétrica
A=\begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -2 & 1 \end{pmatrix},
de modo que
q(x)=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2\\\\ -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}.

Passo 3

Encontramos os autovalores resolvendo
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -2\\\\ -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}=0,
ou seja
(1-\lambda)^{2}-4=0\quad\Longrightarrow\quad1-\lambda=\pm2
que dá
\lambda_{1}=3,\quad \lambda_{2}=-1.

Passo 4

Para \lambda_{1}=3\) o sistema \((A-3I)v=0\) leva a \[\begin{cases} -2x_{1}-2x_{2}=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\;x_{1}+x_{2}=0,
logo um autovetor é v_{1}=(1,\,-1)\]. Para \[\lambda_{2}=-1 o sistema (A+I)v=0
\begin{cases} 2x_{1}-2x_{2}=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\;x_{1}-x_{2}=0,
logo um autovetor é (v_{2}=(1,,1)].
Ortonormalizando, definimos
e_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,-1),\quad e_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,\,1).

Passo 5

Fazemos a mudança ortogonal de variáveis
\begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\end{pmatrix} = P^{T}\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}, \quad P=\bigl[e_{1}\;e_{2}\bigr],
o que equivale a
y_{1}=\frac{x_{1}-x_{2}}{\sqrt{2}},\quad y_{2}=\frac{x_{1}+x_{2}}{\sqrt{2}}.
Sob essas variáveis, q fica diagonal:
q(y)=3\,y_{1}^{2}-1\;y_{2}^{2}.

Resposta

q(x_{1},x_{2})=3\left(\frac{x_{1}-x_{2}}{\sqrt{2}}\right)^{2} -\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{\sqrt{2}}\right)^{2}.

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