Verifique se os sistemas abaixo são lineares:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Verifique se o sistema
é linear.”
Conteúdo: a gente vai usar a definição de sistema linear (superposição e homogeneidade). Não precisa resolver a ODE, só testar se a entrada ao quadrado quebra a linearidade.
Conteúdo: a gente vai usar a definição de sistema linear (superposição e homogeneidade). Não precisa resolver a ODE, só testar se a entrada ao quadrado quebra a linearidade.
Passo 2
Definição de linearidade: um sistema
é linear se, para quaisquer sinais
,
e escalares
, vale
No nosso caso, dado
, a saída
satisfaz
Agora toma
. Então a equação vira
Mas se você somar as respostas individuais, teria
Comparando, falta o termo
. Ou seja,
que é justamente a lei de superposição. Então a linearidade não vale.
Passo 3
Pra deixar mais claro, pega um exemplo numérico:
x₁(t)=1, x₂(t)=1, a=b=1.
x₁(t)=1, x₂(t)=1, a=b=1.
-
dá - Já
dá
Aí ó, 4t² ≠ 2t², falha total na superposição.
Resposta
O sistema não é linear.