Verifique se os sistemas abaixo são lineares:
d y(t)d t+3 t cdot y(t)=t^2 x^2(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Verifique se o sistema
d y(t)d t + 3,t,y(t) ;=; t^2,x^2(t)
é linear.”
Conteúdo: a gente vai usar a definição de sistema linear (superposição e homogeneidade). Não precisa resolver a ODE, só testar se a entrada ao quadrado quebra a linearidade.

Passo 2

Definição de linearidade: um sistema Tl[a,x1(t) + b,x2(t)r] ;=; a,Tl[x1(t)r];+;b,Tl[x2(t)r] é linear se, para quaisquer sinais d yd t + 3t,y = t^2,x^2(t) , d yd t + 3t,y = t^2l(a,x1(t) + b,x2(t)r)^2 = t^2l(a^2x1^2(t) + 2ab,x1(t)x2(t) + b^2x2^2(t)r) e escalares a,T[x1];+;b,T[x2] longrightarrow t^2l(a,x1(t)r)^2 + t^2l(b,x2(t)r)^2 = t^2l(a^2x1^2(t) + b^2x2^2(t)r) , vale
T[a x1 + b x2];neq;a,T[x1]+b,T[x2],
No nosso caso, dado , a saída satisfaz
Agora toma . Então a equação vira
Mas se você somar as respostas individuais, teria
Comparando, falta o termo . Ou seja,
que é justamente a lei de superposição. Então a linearidade não vale.

Passo 3

Pra deixar mais claro, pega um exemplo numérico:
x₁(t)=1, x₂(t)=1, a=b=1.

  • Aí ó, 4t² ≠ 2t², falha total na superposição.

Resposta

O sistema não é linear.

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