Prove diretamente que se \boldsymbol{u} e v são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de u e v é solução dessa mesma equação:
3. x u_{y}=x y u

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x\,u_{y}=x\,y\,u
e afirma que u e v são soluções dessa equação. A pergunta pede para provar diretamente que qualquer combinação linear de u e v também é solução. Ou seja, para quaisquer constantes reais (ou complexas) \alpha e \beta, devemos mostrar que a função
w=\alpha u+\beta v
satisfaz a mesma equação:
x\,w_{y}=x\,y\,w.
Informações relevantes dadas/assumidas: u e v são suficientemente diferenciáveis em relação a y no domínio considerado; \alpha,\beta são constantes escalares. Observação sobre x=0: se x=0 a equação reduz-se a 0=0 e é satisfeita por qualquer função, portanto a questão principal é para pontos com x\neq0, mas a demonstração algebraica a seguir vale em qualquer caso.

Passo 2

Lembrete das propriedades que vamos usar (afinal, estudar é chato, mas juntas a gente descomplica):
  • A derivada parcial é linear: para constantes \alpha,\beta,
(\alpha u+\beta v)_{y}=\alpha\,u_{y}+\beta\,v_{y}.
Isto decorre da definição de derivada e da linearidade da diferença e divisão por incrementos.
  • Multiplicação por funções e por escalares distribui normalmente:
x\big(\alpha u+\beta v\big)=\alpha x u+\beta x v, \qquad x y\big(\alpha u+\beta v\big)=\alpha x y u+\beta x y v.
Essas propriedades são aritmética básica de funções.

Passo 3

Definimos o operador linear associado à equação:
L[w] := x\,w_{y}-x\,y\,w.
Mostrar que w é solução equivale a mostrar que L[w]=0. Vamos usar a linearidade da derivada e das operações para verificar que L é linear, ou seja,
L[\alpha u+\beta v]=\alpha L[u]+\beta L[v].
Se isso for verdade, e sabendo que L[u]=0 e L[v]=0 (porque u e v são soluções), então L[\alpha u+\beta v]=0 e concluímos que \alpha u+\beta v é solução.

Passo 4

Calculemos L[w] de forma explícita para w=\alpha u+\beta v. Primeiro a derivada parcial em y:
w_{y}=(\alpha u+\beta v)_{y}=\alpha\,u_{y}+\beta\,v_{y}.
Multiplicando por x obtemos
x\,w_{y}=x\big(\alpha\,u_{y}+\beta\,v_{y}\big)=\alpha\,x\,u_{y}+\beta\,x\,v_{y}.
Agora a outra parcela da definição de L:
x\,y\,w=x\,y\big(\alpha u+\beta v\big)=\alpha\,x\,y\,u+\beta\,x\,y\,v.
Subtraindo as duas parcelas para formar L[w]:
L[w]=x\,w_{y}-x\,y\,w =\big(\alpha\,x\,u_{y}+\beta\,x\,v_{y}\big)-\big(\alpha\,x\,y\,u+\beta\,x\,y\,v\big).
Reagrupando termos:
L[w]=\alpha\big(x\,u_{y}-x\,y\,u\big)+\beta\big(x\,v_{y}-x\,y\,v\big).

Passo 5

Agora usamos que u e v são soluções da equação original, ou seja,
x\,u_{y}-x\,y\,u=0 \qquad\text{e}\qquad x\,v_{y}-x\,y\,v=0.
Substituindo na expressão de L[w] obtemos
L[w]=\alpha\cdot 0+\beta\cdot 0=0.
Portanto L[w]=0, o que significa exatamente que
x\,w_{y}=x\,y\,w.
Assim w=\alpha u+\beta v é solução da mesma equação para quaisquer constantes \alpha,\beta.

Resposta

Se u e v são soluções então, para quaisquer constantes \alpha,\beta, a função \alpha u+\beta v também é solução da equação x\,u_{y}=x\,y\,u.

Exercícios relacionados