Prove diretamente que se
e
são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de
e
é solução dessa mesma equação:
3.
3.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e afirma que
e
são soluções dessa equação. A pergunta pede para provar diretamente que qualquer combinação linear de
e
também é solução. Ou seja, para quaisquer constantes reais (ou complexas)
e
, devemos mostrar que a função
satisfaz a mesma equação:
Informações relevantes dadas/assumidas:
e
são suficientemente diferenciáveis em relação a
no domínio considerado;
são constantes escalares. Observação sobre
: se
a equação reduz-se a
e é satisfeita por qualquer função, portanto a questão principal é para pontos com
, mas a demonstração algebraica a seguir vale em qualquer caso.
Passo 2
Lembrete das propriedades que vamos usar (afinal, estudar é chato, mas juntas a gente descomplica):
- A derivada parcial é linear: para constantes
,
Isto decorre da definição de derivada e da linearidade da diferença e divisão por incrementos.
- Multiplicação por funções e por escalares distribui normalmente:
Essas propriedades são aritmética básica de funções.
Passo 3
Definimos o operador linear associado à equação:
Mostrar que
é solução equivale a mostrar que
. Vamos usar a linearidade da derivada e das operações para verificar que
é linear, ou seja,
Se isso for verdade, e sabendo que
e
(porque
e
são soluções), então
e concluímos que
é solução.
Passo 4
Calculemos
de forma explícita para
. Primeiro a derivada parcial em
:
Multiplicando por
obtemos
Agora a outra parcela da definição de
:
Subtraindo as duas parcelas para formar
:
Reagrupando termos:
Passo 5
Agora usamos que
e
são soluções da equação original, ou seja,
Substituindo na expressão de
obtemos
Portanto
, o que significa exatamente que
Assim
é solução da mesma equação para quaisquer constantes
.
Resposta
Se
e
são soluções então, para quaisquer constantes
, a função
também é solução da equação
.