Prove diretamente que se \boldsymbol{u} e v são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de u e v é solução dessa mesma equação:
4. y u_{x x}+x u_{y}=x y u

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y\,u_{xx}+x\,u_{y}=x y\,u
e afirma que u e v são soluções dessa equação. Ou seja, sabemos que
y\,u_{xx}+x\,u_{y}-x y\,u=0 \qquad\text{e}\qquad y\,v_{xx}+x\,v_{y}-x y\,v=0.
O que se pede: provar diretamente que qualquer combinação linear de u e v, isto é, w=\alpha u+\beta v com \alpha,\beta constantes, também é solução da mesma equação.

Passo 2

Defina a combinação linear
w=\alpha u+\beta v,
onde \alpha e \beta são constantes (reais, por exemplo). Para verificar que w é solução precisamos calcular as derivadas parciais que aparecem na equação: w_{xx} e w_{y}.
Relembrando uma propriedade básica de derivadas: a derivada (parcial) é linear, ou seja, constantes saem da derivada e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Aplicando isso temos, passo a passo,
w_{x}=(\alpha u+\beta v)_{x}=\alpha u_{x}+\beta v_{x},
e por diferença de novo
w_{xx}=(w_{x})_{x}=(\alpha u_{x}+\beta v_{x})_{x}=\alpha u_{xx}+\beta v_{xx}.
De modo análogo,
w_{y}=(\alpha u+\beta v)_{y}=\alpha u_{y}+\beta v_{y}.

Passo 3

Agora substituímos w, w_{xx} e w_{y} na expressão da equação diferencial (colocando tudo num lado para verificar se é zero):
y\,w_{xx}+x\,w_{y}-x y\,w.
Usando as fórmulas do passo anterior obtemos
y(\alpha u_{xx}+\beta v_{xx})+x(\alpha u_{y}+\beta v_{y})-x y(\alpha u+\beta v).

Passo 4

Agrupando termos e fatorando as constantes \alpha e \beta obtemos
\alpha\bigl(y u_{xx}+x u_{y}-x y u\bigr)+\beta\bigl(y v_{xx}+x v_{y}-x y v\bigr).

Passo 5

Pela hipótese do enunciado, u e v são soluções, então
y u_{xx}+x u_{y}-x y u=0 \qquad\text{e}\qquad y v_{xx}+x v_{y}-x y v=0.
Substituindo esses zeros na expressão do passo anterior resulta
\alpha\cdot 0+\beta\cdot 0=0.
Logo
y\,w_{xx}+x\,w_{y}-x y\,w=0,
ou seja, w satisfaz a equação dada.

Passo 6

Interpretação final e observação útil: o cálculo acima mostra que a expressão diferencial é um operador linear aplicado a u. Para qualquer operador linear homogêneo L (aqui L[u]=y u_{xx}+x u_{y}-x y u), se L[u]=0 e L[v]=0 então L[\alpha u+\beta v]=\alpha L[u]+\beta L[v]=0. Esse é o princípio da superposição: o conjunto de soluções forma um espaço vetorial.

Resposta

Para quaisquer constantes \alpha,\beta\in\mathbb{R}, w=\alpha u+\beta v é solução da equação y w_{xx}+x w_{y}=x y w.

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