Prove diretamente que se
e
são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de
e
é solução dessa mesma equação:
4.
4.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e afirma que
e
são soluções dessa equação. Ou seja, sabemos que
O que se pede: provar diretamente que qualquer combinação linear de
e
, isto é,
com
constantes, também é solução da mesma equação.
Passo 2
Defina a combinação linear
onde
e
são constantes (reais, por exemplo). Para verificar que
é solução precisamos calcular as derivadas parciais que aparecem na equação:
e
.
Relembrando uma propriedade básica de derivadas: a derivada (parcial) é linear, ou seja, constantes saem da derivada e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Aplicando isso temos, passo a passo,
e por diferença de novo
De modo análogo,
Passo 3
Agora substituímos
,
e
na expressão da equação diferencial (colocando tudo num lado para verificar se é zero):
Usando as fórmulas do passo anterior obtemos
Passo 4
Agrupando termos e fatorando as constantes
e
obtemos
Passo 5
Pela hipótese do enunciado,
e
são soluções, então
Substituindo esses zeros na expressão do passo anterior resulta
Logo
ou seja,
satisfaz a equação dada.
Passo 6
Interpretação final e observação útil: o cálculo acima mostra que a expressão diferencial é um operador linear aplicado a
. Para qualquer operador linear homogêneo
(aqui
), se
e
então
. Esse é o princípio da superposição: o conjunto de soluções forma um espaço vetorial.
Resposta
Para quaisquer constantes
,
é solução da equação
.