Prove diretamente que se \boldsymbol{u} e v são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de u e v é solução dessa mesma equação:
  1. \frac{\partial u}{\partial x}+x u=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{\partial u}{\partial x}+x\,u=0
e diz que u e v são soluções dessa equação. O que se pede: mostrar que qualquer combinação linear de u e v, isto é, qualquer função da forma
w=\alpha u+\beta v
com \alpha,\beta constantes, também é solução da mesma equação. Informações importantes fornecidas:
  • u e v satisfazem \dfrac{\partial u}{\partial x}+x u=0 e \dfrac{\partial v}{\partial x}+x v=0.
  • \alpha e \beta são constantes (reais ou complexas, não precisa especificar) e w é a combinação linear definida acima.
    A partir daqui vamos mostrar passo a passo que w também satisfaz a mesma equação.

Passo 2

Definição explícita da combinação linear que vamos testar. Seja
w=\alpha u+\beta v,
onde \alpha e \beta são constantes. Explicar o que isso significa: para cada ponto (cada valor de x e de quaisquer outras variáveis em que u,v dependam), w toma o valor \alpha vezes o valor de u mais \beta vezes o valor de v.

Passo 3

Cálculo da derivada parcial em relação a x de w. Usamos duas propriedades básicas da derivada parcial:
  • a derivada parcial é linear (a derivada da soma é a soma das derivadas);
  • uma constante pode ser retirada para fora da derivada.
    Aplicando essas propriedades obtemos
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\alpha u+\beta v\bigr) =\alpha\,\frac{\partial u}{\partial x}+\beta\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Comentário didático: aqui usamos que \alpha e \beta são constantes (não dependem de x), então podem sair da operação de derivação.

Passo 4

Cálculo do termo x\,w. Usamos a distributividade da multiplicação em relação à soma:
x\,w = x\bigl(\alpha u+\beta v\bigr)=\alpha\,x u+\beta\,x v.
Comentário didático: multiplicar a soma por x faz com que cada parcela seja multiplicada por x; isso é só álgebra elementar (distributividade).

Passo 5

Somando os dois resultados (derivada parcial mais xw) obtemos
\frac{\partial w}{\partial x}+x w =\bigl(\alpha\,\frac{\partial u}{\partial x}+\beta\,\frac{\partial v}{\partial x}\bigr) +\bigl(\alpha\,x u+\beta\,x v\bigr).
Agora agrupamos os termos com os mesmos coeficientes \alpha e \beta:
\frac{\partial w}{\partial x}+x w =\alpha\!\left(\frac{\partial u}{\partial x}+x u\right) +\beta\!\left(\frac{\partial v}{\partial x}+x v\right).

Passo 6

Usamos a hipótese do enunciado: u e v são soluções, logo
\frac{\partial u}{\partial x}+x u=0 \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial v}{\partial x}+x v=0.
Substituindo essas igualdades na expressão do passo anterior obtemos
\frac{\partial w}{\partial x}+x w=\alpha\cdot 0+\beta\cdot 0=0.

Passo 7

Conclusão: \dfrac{\partial w}{\partial x}+x w=0. Portanto w=\alpha u+\beta v satisfaz a mesma equação, ou seja, qualquer combinação linear de duas soluções é também solução. Comentário final (didático e motivador): isso é um exemplo do princípio da superposição para operadores lineares — o operador L definido por L(\varphi)=\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}+x\varphi é linear, e o núcleo de um operador linear (conjunto de soluções homogêneas) é fechado para combinações lineares. Isso significa que, na prática de prova, basta mostrar que o operador aplicado à combinação linear separa-se em combinação das aplicações individuais, como fizemos.

Resposta

Seja w=\alpha u+\beta v. Então \dfrac{\partial w}{\partial x}+x w=0.

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