Prove diretamente que se
e
são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de
e
é solução dessa mesma equação:
-
Passo 1
O enunciado dá a equação
e diz que
e
são soluções dessa equação. O que se pede: mostrar que qualquer combinação linear de
e
, isto é, qualquer função da forma
com
constantes, também é solução da mesma equação. Informações importantes fornecidas:
-
e satisfazem e . -
e são constantes (reais ou complexas, não precisa especificar) e é a combinação linear definida acima.
A partir daqui vamos mostrar passo a passo quetambém satisfaz a mesma equação.
Passo 2
Definição explícita da combinação linear que vamos testar. Seja
onde
e
são constantes. Explicar o que isso significa: para cada ponto (cada valor de
e de quaisquer outras variáveis em que
dependam),
toma o valor
vezes o valor de
mais
vezes o valor de
.
Passo 3
Cálculo da derivada parcial em relação a
de
. Usamos duas propriedades básicas da derivada parcial:
- a derivada parcial é linear (a derivada da soma é a soma das derivadas);
- uma constante pode ser retirada para fora da derivada.
Aplicando essas propriedades obtemos
Comentário didático: aqui usamos que
e
são constantes (não dependem de
), então podem sair da operação de derivação.
Passo 4
Cálculo do termo
. Usamos a distributividade da multiplicação em relação à soma:
Comentário didático: multiplicar a soma por
faz com que cada parcela seja multiplicada por
; isso é só álgebra elementar (distributividade).
Passo 5
Somando os dois resultados (derivada parcial mais
) obtemos
Agora agrupamos os termos com os mesmos coeficientes
e
:
Passo 6
Usamos a hipótese do enunciado:
e
são soluções, logo
Substituindo essas igualdades na expressão do passo anterior obtemos
Passo 7
Conclusão:
. Portanto
satisfaz a mesma equação, ou seja, qualquer combinação linear de duas soluções é também solução. Comentário final (didático e motivador): isso é um exemplo do princípio da superposição para operadores lineares — o operador
definido por
é linear, e o núcleo de um operador linear (conjunto de soluções homogêneas) é fechado para combinações lineares. Isso significa que, na prática de prova, basta mostrar que o operador aplicado à combinação linear separa-se em combinação das aplicações individuais, como fizemos.
Resposta
Seja
. Então
.