Prove diretamente que se boldsymbol{u} e v são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de u e v é solução dessa mesma equação:
  1. \frac{\partial u}{\partial x}+x u=0

Passo 1

O enunciado dá que u e v são soluções da equação
\frac{\partial u}{\partial x} + x\,u = 0
isto é, tanto u quanto v satisfazem
\frac{\partial u}{\partial x} + x\,u = 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial v}{\partial x} + x\,v = 0.
A pergunta é: provar que qualquer combinação linear de u e v também é solução da mesma equação. Em outras palavras, mostrar que, para quaisquer escalares \alpha e \beta, a função
w=\alpha u + \beta v
também satisfaz
\frac{\partial w}{\partial x} + x\,w = 0.

Passo 2

Defino a combinação linear que vou testar:
w=\alpha u + \beta v,
onde \alpha e \beta são escalares (por exemplo, em \mathbb{R} ou \mathbb{C}). O que preciso verificar é que
\frac{\partial w}{\partial x} + x\,w = 0.
Vou calcular termoa a termo e mostrar que a soma dá 0.

Passo 3

Uso a propriedade de linearidade da derivada parcial: a derivada de soma é soma das derivadas e a derivada de um produto por escalar puxa o escalar para fora. Assim,
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\alpha u + \beta v\bigr) = \alpha\,\frac{\partial u}{\partial x} + \beta\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Aqui usei que \alpha e \beta são constantes em relação a x.

Passo 4

Calculo a outra parte do operador:
x\,w = x\bigl(\alpha u + \beta v\bigr) = \alpha\,x u + \beta\,x v.

Passo 5

Agora somo os dois resultados:
\frac{\partial w}{\partial x} + x\,w = \bigl(\alpha\,\frac{\partial u}{\partial x} + \beta\,\frac{\partial v}{\partial x}\bigr) + \bigl(\alpha\,x u + \beta\,x v\bigr).
Agrupando termos com \alpha e com \beta,
\frac{\partial w}{\partial x} + x\,w = \alpha\bigl(\frac{\partial u}{\partial x} + x u\bigr) + \beta\bigl(\frac{\partial v}{\partial x} + x v\bigr).

Passo 6

Como u e v são soluções dadas, vale
\frac{\partial u}{\partial x} + x u = 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial v}{\partial x} + x v = 0.
Substituindo na expressão anterior obtém-se
\frac{\partial w}{\partial x} + x\,w = \alpha\cdot 0 + \beta\cdot 0 = 0.
Portanto w satisfaz a equação indicada, para quaisquer \alpha,\beta.

Passo 7

Comentário final rápido e prático: a demonstração acima é só verificar a linearidade do operador L[f]=\frac{\partial f}{\partial x}+x f. Porque L é linear e a equação é homogênea, a superposição (combinação linear) de soluções é uma solução. Um exemplo concreto para fixar: u(x)=e^{-x^{2}/2} satisfaz \frac{d u}{d x}+x u=0 (pois \frac{d}{d x}e^{-x^{2}/2}=-x e^{-x^{2}/2}), e qualquer múltiplo escalar de u também satisfaz; a demonstração geral acima mostra isso para combinações de duas soluções quaisquer.

Resposta

Para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}), w=\alpha u+\beta v é solução de \frac{\partial w}{\partial x}+x w=0.

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