Prove diretamente que se
e
são sotuções de uma das equações abaixo então qualquer combinação linear de
e
é solução dessa mesma equação:
-
Passo 1
O enunciado dá que
e
são soluções da equação
isto é, tanto
quanto
satisfazem
A pergunta é: provar que qualquer combinação linear de
e
também é solução da mesma equação. Em outras palavras, mostrar que, para quaisquer escalares
e
, a função
também satisfaz
Passo 2
Defino a combinação linear que vou testar:
onde
e
são escalares (por exemplo, em
ou
). O que preciso verificar é que
Vou calcular termoa a termo e mostrar que a soma dá
.
Passo 3
Uso a propriedade de linearidade da derivada parcial: a derivada de soma é soma das derivadas e a derivada de um produto por escalar puxa o escalar para fora. Assim,
Aqui usei que
e
são constantes em relação a
.
Passo 4
Calculo a outra parte do operador:
Passo 5
Agora somo os dois resultados:
Agrupando termos com
e com
,
Passo 6
Como
e
são soluções dadas, vale
Substituindo na expressão anterior obtém-se
Portanto
satisfaz a equação indicada, para quaisquer
.
Passo 7
Comentário final rápido e prático: a demonstração acima é só verificar a linearidade do operador
. Porque
é linear e a equação é homogênea, a superposição (combinação linear) de soluções é uma solução. Um exemplo concreto para fixar:
satisfaz
(pois
), e qualquer múltiplo escalar de
também satisfaz; a demonstração geral acima mostra isso para combinações de duas soluções quaisquer.
Resposta
Para quaisquer
(ou
),
é solução de
.