Prove que a dízima periódica 0,21507507 … é igual a
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que a dízima periódica 0,21507507… pode ser escrita como uma fração, mais precisamente como
. O conteúdo é conversão de dízima periódica em fração, e vamos usar o método de definir a dízima como
, deslocar vírgula, subtrair para eliminar a parte periódica e simplificar.
Passo 2
Seja
, onde “21” é a parte não periódica (k = 2 dígitos) e “507” é o período (n = 3 dígitos). Vamos montar as duas potências de 10 necessárias:
Passo 3
Multiplicamos por
para deslocar a parte não periódica e por
para deslocar também a primeira repetição. Assim:
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Agora subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a parte periódica:
Passo 7
Passo 8
No lado esquerdo fica
. No direito, o decimal periódico some, sobrando:
Passo 9
Passo 10
Logo
Passo 11
Passo 12
Para simplificar, notamos que
e
são divisíveis por 6. Dividindo numerador e denominador por 6:
Passo 13
Passo 14
Pronto! Mostramos que
Passo 15
Resposta
0,21507507… = \frac{21507-21}{99900} = \frac{21486}{99900} = \frac{3581}{16550}