Prove que a dízima periódica 0,21507507 … é igual a
21507-2199900=2148699900=358116550

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a dízima periódica 0,21507507… pode ser escrita como uma fração, mais precisamente como 21507-2199900=2148699900=358116550. O conteúdo é conversão de dízima periódica em fração, e vamos usar o método de definir a dízima como x, deslocar vírgula, subtrair para eliminar a parte periódica e simplificar.

Passo 2

Seja x = 0,21507507, onde “21” é a parte não periódica (k = 2 dígitos) e “507” é o período (n = 3 dígitos). Vamos montar as duas potências de 10 necessárias:

Passo 3

Multiplicamos por 10^2 = 100 para deslocar a parte não periódica e por 10^5 = 100000 para deslocar também a primeira repetição. Assim:

Passo 4

100x = 21,507507507

Passo 5

100000x = 21507,507507507

Passo 6

Agora subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar a parte periódica:

Passo 7

100000x - 100x = 21507,507507 - 21,507507

Passo 8

No lado esquerdo fica 99900x. No direito, o decimal periódico some, sobrando:

Passo 9

99900x = 21507 - 21 = 21486

Passo 10

Logo

Passo 11

x = 2148699900

Passo 12

Para simplificar, notamos que 21486 e 99900 são divisíveis por 6. Dividindo numerador e denominador por 6:

Passo 13

2148699900 = 21486div699900div6 = 358116550

Passo 14

Pronto! Mostramos que

Passo 15

0,21507507 = 21507-2199900 = 2148699900 = 358116550

Resposta

0,21507507… = \frac{21507-21}{99900} = \frac{21486}{99900} = \frac{3581}{16550}

Exercícios relacionados