Prove que entre dois números reais quaisquer, a e b ( \operatorname{com} a<b ), existe sempre um número racional.

Passo 1

O enunciado dá dois números reais quaisquer a e b com a<b. A pergunta é: provar que sempre existe um número racional entre a e b; ou seja, existe r\in\mathbb{Q} tal que
a<r<b.
Informações relevantes fornecidas:
  • a e b são números reais.
  • a<b.
  • Precisa-se construir (ou provar a existência de) um número racional estritamente entre eles.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica dos números reais chamada propriedade arquimediana. Vou enunciar e provar essa propriedade de forma curta e direta, porque ela é a ferramenta-chave aqui.
Propriedade arquimediana (forma usada): para todo número real x existe um inteiro natural n\in\mathbb{N} tal que
n>x.
Prova curta da propriedade arquimediana: suponha, por absurdo, que os inteiros naturais estivessem limitados superiormente por algum real M. Então a coleção de inteiros teria um supremo s. Mas s-1 não pode ser um supremo, e como os inteiros são fechados por adição de 1 existe um inteiro maior que s-1, CONTRADIÇÃO com a definição de supremo. Portanto os inteiros não são limitados acima e, para qualquer x, existe n\in\mathbb{N} com n>x. (Intuição: sempre é possível somar 1 repetidas vezes até ultrapassar qualquer número real.)
Também usaremos a consequência direta: dado qualquer \varepsilon>0 existe n\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{n}<\varepsilon,
porque basta aplicar a forma anterior a x=1/\varepsilon.

Passo 3

Aplicando a propriedade arquimediana ao comprimento do intervalo (a,b): como b-a>0, existe n\in\mathbb{N} tal que
n(b-a)>1.
Intuição: escolhemos n suficientemente grande para que, ao multiplicar o tamanho do intervalo por n, esse comprimento ultrapasse 1. Em uma prova de concurso ou de prova escrita, pode-se escolher qualquer n com n>\dfrac{1}{b-a}.

Passo 4

Considere o número real na. Defina o inteiro
m=\lfloor na\rfloor +1,
onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira (função piso) de x, isto é, o maior inteiro menor ou igual a x. Pela definição de piso temos
\lfloor na\rfloor \le na < \lfloor na\rfloor +1,
portanto, com m=\lfloor na\rfloor +1,
m-1 \le na < m.
Em particular obtemos
na < m.

Passo 5

Agora usamos a escolha de n (que garantiu n(b-a)>1) para mostrar que m<nb. Partindo de m\le na+1 e usando 1 < n(b-a) obtemos
m \le na+1 < na + n(b-a) = nb.
Assim temos a cadeia de desigualdades
na < m < nb.

Passo 6

Dividindo a desigualdade do Passo 5 por n>0 (lembrando que n é natural, então positivo), obtemos
a < \frac{m}{n} < b.
O número \dfrac{m}{n} é racional (é razão de dois inteiros, com n\neq0). Portanto construímos explicitamente um número racional entre a e b.
Comentário prático (como aplicar na prova): dado a<b, escolha n\in\mathbb{N} tal que n(b-a)>1. Então tome m=\lfloor na\rfloor+1. Então \dfrac{m}{n} é racional e satisfaz a<\dfrac{m}{n}<b.

Resposta

\dfrac{\lfloor na\rfloor+1}{n}, onde n\in\mathbb{N} é escolhido tal que n(b-a)>1 e m=\lfloor na\rfloor+1.

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