Prove que entre dois números reais quaisquer,
e
(
), existe sempre um número racional.
Passo 1
O enunciado dá dois números reais quaisquer
e
com
. A pergunta é: provar que sempre existe um número racional entre
e
; ou seja, existe
tal que
Informações relevantes fornecidas:
-
e são números reais. -
. - Precisa-se construir (ou provar a existência de) um número racional estritamente entre eles.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica dos números reais chamada propriedade arquimediana. Vou enunciar e provar essa propriedade de forma curta e direta, porque ela é a ferramenta-chave aqui.
Propriedade arquimediana (forma usada): para todo número real
existe um inteiro natural
tal que
Prova curta da propriedade arquimediana: suponha, por absurdo, que os inteiros naturais estivessem limitados superiormente por algum real
. Então a coleção de inteiros teria um supremo
. Mas
não pode ser um supremo, e como os inteiros são fechados por adição de
existe um inteiro maior que
, CONTRADIÇÃO com a definição de supremo. Portanto os inteiros não são limitados acima e, para qualquer
, existe
com
. (Intuição: sempre é possível somar 1 repetidas vezes até ultrapassar qualquer número real.)
Também usaremos a consequência direta: dado qualquer
existe
tal que
porque basta aplicar a forma anterior a
.
Passo 3
Aplicando a propriedade arquimediana ao comprimento do intervalo
: como
, existe
tal que
Intuição: escolhemos
suficientemente grande para que, ao multiplicar o tamanho do intervalo por
, esse comprimento ultrapasse
. Em uma prova de concurso ou de prova escrita, pode-se escolher qualquer
com
.
Passo 4
Considere o número real
. Defina o inteiro
onde
é a parte inteira (função piso) de
, isto é, o maior inteiro menor ou igual a
. Pela definição de piso temos
portanto, com
,
Em particular obtemos
Passo 5
Agora usamos a escolha de
(que garantiu
) para mostrar que
. Partindo de
e usando
obtemos
Assim temos a cadeia de desigualdades
Passo 6
Dividindo a desigualdade do Passo 5 por
(lembrando que
é natural, então positivo), obtemos
O número
é racional (é razão de dois inteiros, com
). Portanto construímos explicitamente um número racional entre
e
.
Comentário prático (como aplicar na prova): dado
, escolha
tal que
. Então tome
. Então
é racional e satisfaz
.