Integrar as seguintes equações diferenciais:
\frac{d y}{d x}-\operatorname{tg}(x) y-x \operatorname{sec} (x)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver (integrar) a equação diferencial
\frac{d y}{d x}-\operatorname{tg}(x)\,y-x\operatorname{sec}(x)=0.
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem, envolve y, dy/dx, funções trigonométricas \operatorname{tg}(x) e \operatorname{sec}(x).
  • Precisa-se encontrar a solução geral y(x) (integração da EDO).
  • Não foram dadas condições iniciais; espera-se, portanto, a solução geral com constante arbitrária.
  • Deve-se respeitar a região onde as funções envolvidas estão definidas (por exemplo, pontos onde \cos x=0 são singulares para \operatorname{sec} x e divisão por \cos x).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Comparando com a equação dada obtemos
P(x)=-\operatorname{tg}(x),\qquad Q(x)=x\operatorname{sec}(x).
Explicando o método (integradora): para uma EDO linear na forma acima, define-se um fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
A razão é que multiplicando a EDO por \mu(x) a parte esquerda se torna exatamente a derivada do produto \mu(x)y, porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\left(\frac{dy}{dx}+P y\right)
quando \mu'=\mu P, que é garantido pela definição de \mu.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\operatorname{tg}(x)\,dx\right).
Usamos a antiderivada conhecida \displaystyle \int \operatorname{tg}(x)\,dx=-\ln\big|\cos x\big|. Portanto
\int -\operatorname{tg}(x)\,dx=\ln\big|\cos x\big|.
Assim
\mu(x)=\exp\!\big(\ln\big|\cos x\big|\big)=\big|\cos x\big|.
Para trabalhar convenientemente com sinais, escolhemos \mu(x)=\cos x em intervalos onde \cos x não muda de sinal (isto é, \cos x\neq0); a solução final valerá em tais intervalos. Então tomamos
\mu(x)=\cos x.

Passo 4

Multiplicar a EDO original por \mu(x)=\cos x. A equação
\frac{dy}{dx}-\operatorname{tg}(x)\,y=x\operatorname{sec}(x)
multiplicada por \cos x fica
\cos x\frac{dy}{dx}-\cos x\,\operatorname{tg}(x)\,y = x\cos x\operatorname{sec}(x).
Simplificando \cos x\,\operatorname{tg}(x)=\sin x e \cos x\operatorname{sec}(x)=1, obtemos
\cos x\frac{dy}{dx}-\sin x\,y = x.
Pelo motivo do passo anterior, a esquerda é exatamente a derivada do produto \cos x\cdot y:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\; y\big)=x.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(\cos x\; y\big)\,dx = \int x\,dx.
A esquerda integra direto para \cos x\; y. A direita é uma integral elementar:
\cos x\; y=\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y=\frac{\dfrac{x^{2}}{2}+C}{\cos x}=\frac{x^{2}}{2\cos x}+C\operatorname{sec} x.

Passo 6

Interpretação e observações finais:
  • A solução geral é
y(x)=\frac{x^{2}}{2\cos x}+C\operatorname{sec} x,
válida em intervalos onde \cos x\neq0 (pois usa \operatorname{sec} x e divisão por \cos x). A constante C é determinada por qualquer condição inicial se fornecida.
  • Verificação rápida (opcional): derivando y e substituindo na equação original deve retornar zero; isso confirma o procedimento.
  • Dica prática para prova: ao ver um termo do tipo -\tan(x) y reconheça imediatamente P(x)=-\tan x e que o fator integrante será \exp(\int -\tan x\,dx)=\cos x, o que simplifica muito a conta porque \cos x\cdot\operatorname{sec} x=1.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}}{2\cos x}+C\operatorname{sec} x

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