Integrar as seguintes equações diferenciais:
[ 1,0]
[ 1,0]
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial
O que se pede é integrar essa equação diferencial, isto é, encontrar a solução geral implícita
.
Informações dadas:
-
é o coeficiente de . -
é o coeficiente de .
O objetivo é obter a solução geral (constante de integração
).
Passo 2
Verificar se a forma diferencial é exata. Lembre que uma forma
é exata se existir uma função
tal que
e
. Uma condição prática é
Calcule as derivadas parciais:
Como
, a forma NÃO é exata. Então precisamos de um fator integrante (integrating factor).
Passo 3
Procurar um fator integrante do tipo
(muito usado porque transforma potências de
e
de modo simples). Se multiplicarmos a equação por
queremos que a nova forma
seja exata, isto é:
Para
há uma condição conveniente que resulta em equação entre constantes
e
. Desenvolvendo:
Portanto a condição é
ou simplificando (dividindo por
):
Agora substitua as expressões conhecidas. Já temos
. Substituindo
e
no lado direito:
Simplificando:
Igualando termos com
,
e
da esquerda e da direita, notamos que à esquerda não existe termo com
. Para que essa igualdade valha para todos
é necessário que o coeficiente de
seja zero, logo
. Com
a igualdade fica
Isto implica
. Portanto obtemos
Conclusão: um fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. A equação multiplicada fica
Simplificando os termos:
Agora defina
Verifique exatidão:
Como
, a forma é agora exata. Ótimo — podemos achar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 5
Determinar a função potencial
. Integre
em relação a
, tratando
como constante:
Como
é constante ao integrar em
,
Portanto
onde
é uma função arbitrária de
(surge da integração em
).
Agora impõe-se
. Calcule:
Igualando a
:
Isso dá
, logo
é constante:
.
Passo 6
A função potencial
encontrada é
e a condição
constante representa a solução geral. Podemos escrever a solução implícita (absorvendo
no lado direito) como