Integrar as seguintes equações diferenciais:
[ 1,0]
\left(\frac{y}{x}+\ln y\right) d x+\left(\frac{x}{2 y}+1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
\left(\frac{y}{x}+\ln y\right)\,dx+\left(\frac{x}{2y}+1\right)\,dy=0.
O que se pede é integrar essa equação diferencial, isto é, encontrar a solução geral implícita \varphi(x,y)=C.
Informações dadas:
  • M(x,y)=\dfrac{y}{x}+\ln y é o coeficiente de dx.
  • N(x,y)=\dfrac{x}{2y}+1 é o coeficiente de dy.
O objetivo é obter a solução geral (constante de integração C).

Passo 2

Verificar se a forma diferencial é exata. Lembre que uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata se existir uma função \varphi(x,y) tal que \partial\varphi/\partial x=M e \partial\varphi/\partial y=N. Uma condição prática é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}+\ln y\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{2y}+1\right)=\frac{1}{2y}.
Como \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\neq\dfrac{1}{2y}, a forma NÃO é exata. Então precisamos de um fator integrante (integrating factor).

Passo 3

Procurar um fator integrante do tipo \mu(x,y)=x^{a}y^{b} (muito usado porque transforma potências de x e y de modo simples). Se multiplicarmos a equação por \mu queremos que a nova forma \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata, isto é:
\frac{\partial(\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial(\mu N)}{\partial x}.
Para \mu=x^{a}y^{b} há uma condição conveniente que resulta em equação entre constantes a e b. Desenvolvendo:
\frac{\partial(\mu M)}{\partial y}=\mu\frac{\partial M}{\partial y}+\frac{b}{y}\mu M, \qquad \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}=\mu\frac{\partial N}{\partial x}+\frac{a}{x}\mu N.
Portanto a condição é
\mu\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)=\mu\left(\frac{a}{x}N-\frac{b}{y}M\right),
ou simplificando (dividindo por \mu):
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{a}{x}N-\frac{b}{y}M.
Agora substitua as expressões conhecidas. Já temos \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}. Substituindo M e N no lado direito:
\frac{a}{x}N-\frac{b}{y}M = \frac{a}{x}\!\left(\frac{x}{2y}+1\right)-\frac{b}{y}\!\left(\frac{y}{x}+\ln y\right).
Simplificando:
\frac{a}{x}N-\frac{b}{y}M=\frac{a-b}{x}+\frac{a}{2y}-\frac{b\ln y}{y}.
Igualando termos com \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y} e \dfrac{\ln y}{y} da esquerda e da direita, notamos que à esquerda não existe termo com \dfrac{\ln y}{y}. Para que essa igualdade valha para todos x,y é necessário que o coeficiente de \dfrac{\ln y}{y} seja zero, logo b=0. Com b=0 a igualdade fica
\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}= \frac{a}{x}+\frac{a}{2y}.
Isto implica a=1. Portanto obtemos
\mu(x,y)=x^{a}y^{b}=x^{1}y^{0}=x.
Conclusão: um fator integrante é \mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x. A equação multiplicada fica
x\left(\frac{y}{x}+\ln y\right)\,dx + x\left(\frac{x}{2y}+1\right)\,dy=0.
Simplificando os termos:
\bigl(y+x\ln y\bigr)\,dx + \bigl(\frac{x^{2}}{2y}+x\bigr)\,dy=0.
Agora defina
\tilde M(x,y)=y+x\ln y,\qquad \tilde N(x,y)=\frac{x^{2}}{2y}+x.
Verifique exatidão:
\frac{\partial\tilde M}{\partial y}=1+\frac{x}{y}, \qquad \frac{\partial\tilde N}{\partial x}=\frac{2x}{2y}+1=\frac{x}{y}+1.
Como \dfrac{\partial\tilde M}{\partial y}=\dfrac{\partial\tilde N}{\partial x}, a forma é agora exata. Ótimo — podemos achar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \partial\varphi/\partial x=\tilde M e \partial\varphi/\partial y=\tilde N.

Passo 5

Determinar a função potencial \varphi(x,y). Integre \tilde M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int \tilde M(x,y)\,dx=\int\bigl(y+x\ln y\bigr)\,dx.
Como y é constante ao integrar em x,
\int y\,dx = xy, \qquad \int x\ln y\,dx = \ln y\int x\,dx = \ln y\cdot\frac{x^{2}}{2}.
Portanto
\varphi(x,y)=xy+\frac{x^{2}}{2}\ln y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (surge da integração em x).
Agora impõe-se \partial\varphi/\partial y=\tilde N. Calcule:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x+\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{y}+h'(y)=x+\frac{x^{2}}{2y}+h'(y).
Igualando a \tilde N:
x+\frac{x^{2}}{2y}+h'(y)=\frac{x^{2}}{2y}+x.
Isso dá h'(y)=0, logo h(y) é constante: h(y)=C.

Passo 6

A função potencial \varphi encontrada é
\varphi(x,y)=xy+\frac{x^{2}}{2}\ln y + C,
e a condição \varphi(x,y)= constante representa a solução geral. Podemos escrever a solução implícita (absorvendo C no lado direito) como
xy+\frac{x^{2}}{2}\ln y = C.

Resposta

xy+\dfrac{x^{2}}{2}\ln y = C

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