Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y^prime+y=0 ; y(0)=4, y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
y'' + y' + y = 0,
com as condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=-3, usando transformada de Laplace. Para isso, vamos usar
Ly'(s)=sY(s)-y(0) e
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=Ly(t)(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo de y''+y'+y=0, obtemos
(s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)) ;+;(sY(s)-y(0));+;Y(s);=;0

Passo 3

Substituindo y(0)=4 e y'(0)=-3 na expressão acima, vem
s^2Y(s)-4s+3 ;+; sY(s)-4 ;+; Y(s);=;0 Longrightarrow Y(s),(s^2+s+1);-;(4s+1);=;0,
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Y(s) ;=;4s+1s^2+s+1

Passo 4

Reescrevemos o denominador como
s^2+s+1 = l(s+tfrac12r)^2 + l(tfracraiz32r)^2
e o numerador 4s+1 = 4,(s+tfrac12) -1. Assim
Y(s) =4,(s+tfrac12)(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2 ;-;1(s+tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2

Passo 5

Usando as inversas conhecidas
L^-1!ls+a(s+a)^2+b^2r = e^-atcos(bt), L^-1!lb(s+a)^2+b^2r = e^-atsin(bt),
obtemos
y(t) =4,e^-t/2cos!l(tfracraiz32tr) ;-;2raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32tr)

Resposta

y(t) = 4e^-tfract2cos!l(tfracraiz32tr) - 2raiz3,e^-tfract2sin!l(tfracraiz32tr)

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