Prove que se existir uma infinidade de índices
tais que
então a série
diverge.
Passo 1
O enunciado dá que existe uma infinidade de índices
tais que
. O que se pede é provar que a série
diverge. Vou deixar claro o que isto significa: a série
converge se e somente se as somas parciais
têm um limite finito quando
. Para mostrar que a série diverge basta provar que as somas parciais não têm limite finito (ou seja, que a série não pode convergir).
Passo 2
Lembrete/lemnma importante (condição necessária para convergência): se a série
converge, então o termo geral
converge para
. Vou provar isso passo a passo porque é crucial e simples.
Suponha que
converge e que
quando
. Observe que, para
,
Como
e
quando
, pela propriedade da diferença de limites temos
Portanto, convergência da série implica necessariamente que
.
Passo 3
Agora uso a hipótese do enunciado. Diz-se que existe uma infinidade de índices
com
. Isso significa que o conjunto
é infinito. Então podemos enumerar esses índices em ordem crescente e obter uma subsequência de índices
tal que, para todo
,
Em palavras: existe uma subsequência dos termos da sequência
cujos elementos têm módulo estritamente maior que
.
Passo 4
Vou mostrar que essa subsequência
não pode tender a
. Para convergência para
seria necessário que, dado qualquer
, existisse
tal que para todo
tivéssemos
. Escolha
. Mas por construção temos
para todo
, logo nunca ocorre
. Assim a subsequência
não satisfaz a condição para convergir para
; logo
Passo 5
Concluímos que a sequência completa
não converge para
, porque contém uma subsequência que não tende a
. Mas pelo Passo 2, a convergência da série
implicaria
. Como isso não acontece, a série não pode convergir. Portanto a série diverge.
Resposta
A série
diverge.