Prove que se existir uma infinidade de índices n tais que \left|a_{n}\right|>1 então a série \sum a_{n} diverge.

Passo 1

O enunciado dá que existe uma infinidade de índices n tais que \left|a_{n}\right|>1. O que se pede é provar que a série \sum a_{n} diverge. Vou deixar claro o que isto significa: a série \sum a_{n} converge se e somente se as somas parciais
s_N=\sum_{k=1}^{N}a_k
têm um limite finito quando N\to\infty. Para mostrar que a série diverge basta provar que as somas parciais não têm limite finito (ou seja, que a série não pode convergir).

Passo 2

Lembrete/lemnma importante (condição necessária para convergência): se a série \sum a_{n} converge, então o termo geral a_{n} converge para 0. Vou provar isso passo a passo porque é crucial e simples.
Suponha que \sum a_n converge e que s_N\to S quando N\to\infty. Observe que, para n\ge 1,
a_n = s_n - s_{n-1}.
Como s_n\to S e s_{n-1}\to S quando n\to\infty, pela propriedade da diferença de limites temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n - s_{n-1}) = S - S = 0.
Portanto, convergência da série implica necessariamente que a_n\to 0.

Passo 3

Agora uso a hipótese do enunciado. Diz-se que existe uma infinidade de índices n com \left|a_n\right|>1. Isso significa que o conjunto
\{n\in\mathbb{N} \mid |a_n|>1\}
é infinito. Então podemos enumerar esses índices em ordem crescente e obter uma subsequência de índices n_1<n_2<\cdots tal que, para todo k,
|a_{n_k}|>1.
Em palavras: existe uma subsequência dos termos da sequência (a_n) cujos elementos têm módulo estritamente maior que 1.

Passo 4

Vou mostrar que essa subsequência (a_{n_k}) não pode tender a 0. Para convergência para 0 seria necessário que, dado qualquer \varepsilon>0, existisse K tal que para todo k\ge K tivéssemos |a_{n_k}|<\varepsilon. Escolha \varepsilon=1. Mas por construção temos |a_{n_k}|>1 para todo k, logo nunca ocorre |a_{n_k}|<1. Assim a subsequência (a_{n_k}) não satisfaz a condição para convergir para 0; logo
\lim_{k\to\infty} a_{n_k} \neq 0.

Passo 5

Concluímos que a sequência completa (a_n) não converge para 0, porque contém uma subsequência que não tende a 0. Mas pelo Passo 2, a convergência da série \sum a_n implicaria a_n\to 0. Como isso não acontece, a série não pode convergir. Portanto a série diverge.

Resposta

A série \sum a_n diverge.

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