Reciprocamente, se \sum a_{n} é absolutamente convergente, então a sequência ( a_{n} ) é somável.
Passo 1
O enunciado dá que a série \sum a_{n} é absolutamente convergente. Ou seja, foi-nos dito que a série \sum |a_{n}| converge. O que é pedido: provar que a sequência (a_{n}) é somável — isto é, provar que a série \sum a_{n} converge (a soma dos termos a_n existe finita). Vou usar apenas essa informação e trabalhar passo a passo.
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas devagar).
Dizemos que a série \sum a_{n} converge se a sequência das somas parciais
S_{N}=\sum_{k=1}^{N}a_{k}
converge quando N\to\infty.
Critério de Cauchy para séries: uma série \sum a_{n} converge se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo m>n\ge N,
\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_{k}\right|<\varepsilon.
Esse critério diz que as “caudas” da série podem ser tornadas arbitrariamente pequenas.
Desigualdade triangular (uma ferramenta muito simples e útil): para quaisquer números reais ou complexos,
Isto é óbvio: o valor absoluto da soma é no máximo a soma dos valores absolutos.
Passo 3
Usar a hipótese: como \sum |a_{n}| converge, sabemos que as somas parciais da série dos módulos formam uma sequência convergente; em particular as caudas da série dos módulos tendem a zero. Vamos escrever isso explicitamente com \varepsilon.
Seja \varepsilon>0 qualquer. Como \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| converge, existe N tal que, para todo n\ge N,
\sum_{k=n+1}^{\infty}|a_{k}|<\varepsilon.
Isto significa que a soma do resto (a partir de qualquer índice n suficientemente grande) é menor que \varepsilon.
Passo 4
Estimar a cauda da série original usando a desigualdade triangular. Para quaisquer m>n\ge N temos
Pelo passo anterior, \sum_{k=n+1}^{\infty}|a_{k}|<\varepsilon. Portanto, para todo m>n\ge N,
\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_{k}\right|<\varepsilon.
Passo 5
Aplicando o critério de Cauchy (descrito no Passo 2): a propriedade obtida no Passo 4 mostra exatamente que as caudas da série \sum a_{n} podem ser tornadas arbitrariamente pequenas. Logo a sequência das somas parciais \bigl(S_{N}\bigr) é Cauchy, e portanto converge. Concluímos que \sum a_{n} converge.
Resposta
A série \sum a_{n} converge; portanto a sequência (a_{n}) é somável.