Demonstre que, para qualquer número real b, o polinômio p(x)=x^{3}+x+b possui exatamente uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para qualquer número real b, o polinômio
p(x)=x^{3}+x+b
possui exatamente uma raiz real.
Informações dadas:
  • b é um número real arbitrário (qualquer b\in\mathbb{R}).
  • p é o polinômio definido acima.
O que precisamos mostrar:
  1. Existe ao menos uma raiz real de p (existência).
  2. Não existem duas ou mais raízes reais — ou seja, a raiz real é única (unicidade).

Passo 2

Primeira observação: polinômios são funções contínuas e tendem para \pm\infty nas extremidades conforme o grau e o coeficiente líder. Aqui o termo de maior grau é x^{3} com coeficiente positivo, então
\lim_{x\to+\infty} p(x) = +\infty\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty} p(x) = -\infty.
Explicação: para x muito grande e positivo, x^{3} domina os outros termos e é muito positivo; para x muito negativo, x^{3} é muito negativo. Esse comportamento vale para qualquer b fixo.

Passo 3

Uso do Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raiz. O TVI diz: se uma função é contínua em um intervalo [a,b] e toma valores de sinais opostos em a e b, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Aplicando ao nosso caso: como p é contínua em \mathbb{R} e os limites nas extremidades têm sinais opostos ( p(x)\to -\infty quando x\to -\infty e p(x)\to +\infty quando x\to +\infty), existe pelo menos um c\in\mathbb{R} com
p\text{(c)}=0.
Portanto, a existência de pelo menos uma raiz real está estabelecida.

Passo 4

Agora vamos mostrar unicidade: que não podem existir duas raízes reais distintas. Uma maneira rápida usando cálculo é observar a derivada de p:
p'(x)=3x^{2}+1.
Explicação da fórmula: p'(x) representa a taxa de variação instantânea (a “inclinação” da curva). Para polinômios, derivadas seguem a regra d(x^{n})/dx = n x^{n-1}. Aqui d(x^{3})/dx = 3x^{2}, d(x)/dx = 1, d(b)/dx = 0.
Note que para todo x\in\mathbb{R} temos 3x^{2}\ge 0, então
p'(x)=3x^{2}+1>0.
Como a derivada é estritamente positiva em todo \mathbb{R}, p é estritamente crescente em \mathbb{R}. Conclusão: uma função estritamente crescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos; portanto p(x)=0 tem no máximo uma solução real. Juntando com a existência (Passo 3), obtemos exatamente uma raiz real.

Passo 5

(Pra quem prefere evitar cálculo: prova algébrica direta de que p é estritamente crescente.) Tome x<y. Então
p(y)-p(x) = (y^{3}+y+b) - (x^{3}+x+b) = y^{3}-x^{3}+y-x.
Fatorando,
y^{3}-x^{3}+y-x = (y-x)(y^{2}+yx+x^{2}) + (y-x) = (y-x)\bigl(y^{2}+yx+x^{2}+1\bigr).
Agora mostramos que o fator \bigl(y^{2}+yx+x^{2}+1\bigr) é sempre positivo. Note que
y^{2}+yx+x^{2} = \bigl(y+\tfrac{x}{2}\bigr)^{2} + \tfrac{3}{4}x^{2}\ge 0,
e portanto
y^{2}+yx+x^{2}+1 \ge 1>0.
Como y-x>0 (porque y>x), segue que p(y)-p(x)>0. Logo sempre que y>x temos p(y)>p(x); isto é, p é estritamente crescente. Assim, novamente, não pode haver duas raízes distintas. Essa é a mesma conclusão do Passo 4, obtida sem derivada.

Passo 6

Juntando os resultados:
  • Pelo Passo 3 existe pelo menos uma raiz real.
  • Pelo Passo 4 (ou Passo 5) a função é estritamente crescente, então a raiz real é única.
Portanto, para qualquer b\in\mathbb{R}, o polinômio p(x)=x^{3}+x+b tem exatamente uma raiz real.

Resposta

O polinômio p(x)=x^{3}+x+b possui exatamente uma raiz real.

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