Demonstre que, para qualquer número real
, o polinômio
possui exatamente uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para qualquer número real
, o polinômio
possui exatamente uma raiz real.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um número real arbitrário (qualquer ). -
é o polinômio definido acima.
O que precisamos mostrar:
- Existe ao menos uma raiz real de
(existência). - Não existem duas ou mais raízes reais — ou seja, a raiz real é única (unicidade).
Passo 2
Primeira observação: polinômios são funções contínuas e tendem para
nas extremidades conforme o grau e o coeficiente líder. Aqui o termo de maior grau é
com coeficiente positivo, então
Explicação: para
muito grande e positivo,
domina os outros termos e é muito positivo; para
muito negativo,
é muito negativo. Esse comportamento vale para qualquer
fixo.
Passo 3
Uso do Teorema do Valor Intermediário (TVI) para garantir existência de raiz. O TVI diz: se uma função é contínua em um intervalo
e toma valores de sinais opostos em
e
, então existe
tal que
.
Aplicando ao nosso caso: como
é contínua em
e os limites nas extremidades têm sinais opostos (
quando
e
quando
), existe pelo menos um
com
Portanto, a existência de pelo menos uma raiz real está estabelecida.
Passo 4
Agora vamos mostrar unicidade: que não podem existir duas raízes reais distintas. Uma maneira rápida usando cálculo é observar a derivada de
:
Explicação da fórmula:
representa a taxa de variação instantânea (a “inclinação” da curva). Para polinômios, derivadas seguem a regra
. Aqui
,
,
.
Note que para todo
temos
, então
Como a derivada é estritamente positiva em todo
,
é estritamente crescente em
. Conclusão: uma função estritamente crescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos; portanto
tem no máximo uma solução real. Juntando com a existência (Passo 3), obtemos exatamente uma raiz real.
Passo 5
(Pra quem prefere evitar cálculo: prova algébrica direta de que
é estritamente crescente.) Tome
. Então
Fatorando,
Agora mostramos que o fator
é sempre positivo. Note que
e portanto
Como
(porque
), segue que
. Logo sempre que
temos
; isto é,
é estritamente crescente. Assim, novamente, não pode haver duas raízes distintas. Essa é a mesma conclusão do Passo 4, obtida sem derivada.
Passo 6
Juntando os resultados:
- Pelo Passo 3 existe pelo menos uma raiz real.
- Pelo Passo 4 (ou Passo 5) a função é estritamente crescente, então a raiz real é única.
Portanto, para qualquer
, o polinômio
tem exatamente uma raiz real.
Resposta
O polinômio
possui exatamente uma raiz real.