1. Prove: Se f, fx e fy são contínuas em uma região circular contendo A(x0, y0) e B(x1, y1), então existirá um ponto (x^*, y^*) no segmento que une A e B tal que
f(x1, y1) & -f(x0, y0) & =fx(x^*, y^*)(x1-x0)+fy(x^*, y^*)(y1-y0)
Esse resultado é a versão bidimensional do Teorema do Valor Médio. [Sugestão: Expresse o segmento de reta que une A e B na forma paramétrica e use o Teorema do Valor Médio para funções de uma variável.]

Passo 1

O enunciado pede para provar a versão bidimensional do Teorema do Valor Médio: dadas uma função f e suas derivadas parciais fx e fy contínuas numa região que contém os pontos A=(x0,y0) e B=(x1,y1), existe um ponto (x^*,y^*) no segmento AB tal que a diferença f(x1,y1)-f(x0,y0) seja dada pela combinação linear das derivadas parciais no ponto (x^*,y^*). Vamos usar parametrização de reta e o Teorema do Valor Médio unidimensional para resolver.

Passo 2

Parametrizamos o segmento AB por tin[0,1] como segue:

Passo 3

x(t)=x0+tigl(x1-x0r), y(t)=y0+tigl(y1-y0r) 

Passo 4

Definimos então a função de uma variável
$$
\varphi(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr).
$$
Como varphi(t)=fl(x(t),y(t)r) é diferenciável (derivadas contínuas), f também é diferenciável em varphi(t), permitindo aplicar o Teorema do Valor Médio.

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Médio para varphi, existe t^*in(0,1) tal que
varphi(1)-varphi(0)=varphi'(t^*)

Passo 6

Observamos que
varphi(1)=f(x1,y1), varphi(0)=f(x0,y0)

Passo 7

Usando a regra da cadeia, calculamos varphi'(t):
varphi'(t)=fxl(x(t),y(t)r),(x1-x0) +fyl(x(t),y(t)r),(y1-y0)

Passo 8

Definindo $ (x*,y)=(x(t*),y(t)) $, concluímos que
(x^*,y^*)=(x(t^*),y(t^*))

Resposta

Existe um ponto (x^*,y^*) no segmento de reta entre (x0,y0) e (x1,y1) tal que
f(x1,y1)-f(x0,y0) =fx(x^*,y^*),(x1-x0) +fy(x^*,y^*),(y1-y0)

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