- Prove:
e
são contínuas em uma região circular contendo
e
, então existirá um ponto
no segmento que une
e
tal que
Esse resultado é a versão bidimensional do Teorema do Valor Médio. [Sugestão: Expresse o segmento de reta que une
e
na forma paramétrica e use o Teorema do Valor Médio para funções de uma variável.]
Passo 1
O enunciado pede para provar a versão bidimensional do Teorema do Valor Médio: dadas uma função
e suas derivadas parciais
e
contínuas numa região que contém os pontos
e
, existe um ponto
no segmento
tal que a diferença
seja dada pela combinação linear das derivadas parciais no ponto
. Vamos usar parametrização de reta e o Teorema do Valor Médio unidimensional para resolver.
Passo 2
Parametrizamos o segmento
por
como segue:
Passo 3
Passo 4
Definimos então a função de uma variável
$$
\varphi(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr).
$$
Como é diferenciável (derivadas contínuas),
também é diferenciável em
, permitindo aplicar o Teorema do Valor Médio.
Como
Passo 5
Pelo Teorema do Valor Médio para
, existe
tal que
Passo 6
Observamos que
Passo 7
Usando a regra da cadeia, calculamos
:
Passo 8
Definindo $ (x*,y)=(x(t*),y(t)) $, concluímos que
Resposta
Existe um ponto
no segmento de reta entre
e
tal que