Considere a função f(x, y)=3 x^2-y^22-2 x^3.
(b) Determine a equação da reta tangente à curva de nível de f(x,y) que passa pelo ponto (0,2).

Passo 1

A questão pede a reta tangente à curva de nível de f que passa por (0,2). O conteúdo é gradiente e nível de função de duas variáveis. Vamos precisar calcular o valor de f no ponto para achar a constante da curva de nível e depois o gradiente em (0,2) para obter a normal à curva, usando a condição de tangência.

Passo 2

Calcular a constante da curva de nível:
C = f(0,2) = 3cdot0^2 - 2^22 - 2cdot0^3 = -2
Logo a curva de nível é f(x,y)= -2.

Passo 3

Determinar o gradiente de f e avaliá-lo em (0,2):
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,partial fpartial yr) = (6x - 6x^2,,-y)
Em (0,2) temos
nabla f(0,2) = (6cdot0 - 6cdot0^2,,-2) = (0,-2)

Passo 4

A reta tangente à curva de nível em (0,2) tem vetor normal igual a nabla f(0,2). Usando a forma normal da reta:
(0,-2)cdotl((x,y)-(0,2)r) = 0
Isso dá
0cdot(x-0) - 2,(y-2) = 0 Longrightarrow y - 2 = 0

Resposta

y = 2

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