1. Suponha que w seja uma função diferenciável de x1, x2 e x3 e
& x1=a1 y1+b1 y2 & x2=a2 y1+b2 y2 & x3=a3 y1+b3 y2
onde os ai e bi são constantes. Expresse partial w / partial y1 e partial w / partial y2 em termos de partial w / partial x1, partial w / partial x2 e partial w / partial x3.

Passo 1

O exercício pede para expressar as derivadas parciais de uma função composta pelas variáveis y₁ e y₂. O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar usar que x₁, x₂ e x₃ dependem linearmente de y₁ e y₂.

Passo 2

Pela regra da cadeia multivariada, para j=1,2 vale: partial wpartial yj = sumi=1^3 partial wpartial xi cdot partial xipartial yj.

Passo 3

Como xi=aiy1+biy2, temos partial xi/partial y1=ai. Substituindo em partial w/partial y1 obtém-se: partial wpartial y1=a1partial wpartial x1+a2partial wpartial x2+a3partial wpartial x3.

Passo 4

De modo análogo, partial xi/partial y2=bi. Logo, partial w/partial y2 fica: partial wpartial y2=b1partial wpartial x1+b2partial wpartial x2+b3partial wpartial x3.

Resposta

partial wpartial y1=a1partial wpartial x1+a2partial wpartial x2+a3partial wpartial x3, partial wpartial y2=b1partial wpartial x1+b2partial wpartial x2+b3partial wpartial x3.

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