Prove que se
é contínua, então:
Passo 1
O enunciado fornecido só diz que a função
é contínua e termina em dois pontos: não há indicação do que exatamente devo provar. Ou seja:
- Dados: a função
é contínua em todo . - Pedido: NÃO ESTÁ ESPECIFICADO — falta a afirmação que devo demonstrar.
Não posso iniciar uma prova sem saber qual propriedade ou conclusão o enunciado quer (por exemplo: mostrar que
é limitada? que é uniformemente contínua? que satisfaz o teorema do valor intermediário? que é diferenciável? etc.). Portanto, neste passo fica explícito o que o problema nos deu e o que falta.
Passo 2
Para ser útil enquanto você corrige o enunciado, vou listar algumas afirmações comuns que professores pedem a partir da hipótese “
contínua” e dizer rapidamente se elas são verdadeiras em geral ou não. Assim você já sabe o que costuma ser provável pedir e o que exige hipóteses adicionais:
- “
é limitada em ”: em geral, NÃO. Contraexemplo simples: é contínua em e não é limitada. - “
é uniformemente contínua em ”: em geral, NÃO. Contraexemplo: é contínua em mas não é uniformemente contínua em . - “
satisfaz o Teorema do Valor Intermediário) em qualquer intervalo”: SIM — qualquer função contínua em um intervalo real tem o valor intermediário (IVT). - “
atinge máximos e mínimos”: em geral, NÃO em todo ; precisa de hipótese adicional (por exemplo, se for contínua em um intervalo fechado e limitado , então SIM — Teorema de Weierstrass). - “
é diferenciável”: em geral, NÃO (continuidade não implica diferenciabilidade).
Como não foi especificado o que provar, abaixo deixo uma mini-aula com definições e provas passo a passo das propriedades clássicas que costumam aparecer em exercícios — assim você ganha ferramentas para várias possibilidades.
Passo 3
Definição precisa: uma função
é contínua em um ponto
se, para todo
, existe
tal que
O que isso significa, em palavras simples: para pedir que os valores de
fiquem dentro de uma “tolerância”
em torno de
, basta tomar
suficientemente perto de
(dentro de distância
). Continuidade em todo
significa que essa condição vale para todo
.
Exemplo curto: provar que
é contínua. Dado
, escolhe-se
. Se
então
. Pronto.
Passo 4
Proposição:
é contínua em
se, e somente se, para toda sequência
com
temos
.
Prova (direção fácil): se
for contínua em
e
, então para dado
existe
tal que
. Como
, existe
com
para
. Logo
para
, ou seja
.
Prova (outra direção): se a propriedade sequencial vale para todo
com
, a continuidade clássica também vale (contraposição: se não fosse contínua, existiria
tal que para todo
existe
com
e
; escolhendo uma subsequência desses
s obtém-se uma sequência convergente para
mas cujas imagens não convergem para
, contradizendo hipótese).
Essa equivalência é útil em provas mais intuitivas: para mostrar descontinuidade basta achar uma sequência
com
.
Passo 5
Enunciado: se
é contínua em um intervalo
e
é um número entre
e
(isto é,
ou o contrário), então existe
tal que
.
Prova (passo a passo usando completude de
):
- Sem perda de generalidade, suponha
. - Considere o conjunto
. Observações: (pois ), logo é não vazio. Também é limitado superiormente por . - Por completude,
existe e . - Mostra-se que
. Primeiro, qualquer sequência com satisfaz para todo , e pela continuidade , então . - Por outro lado, tomando
suficientemente próximo de (existem pontos de arbitrariamente próximos de , caso contrário não seria supremo), tem-se ; pela continuidade isso força . - Combinando
e conclui-se .
Esse teorema é a razão pela qual funções contínuas em intervalos não “pulam” valores.
Passo 6
Enunciado: se
é contínua em
com
, então
é limitada em
e existem pontos
tais que
e
.
Esboço da prova (passos essenciais):
- Mostra-se primeiro que
é um conjunto limitado: se não fosse, existiria uma sequência tal que . Como é compacto, existe sub-sequência . Pela continuidade , o que contradiz o fato de . Logo é limitada. - Seja
. Como é limitado, existe finito. Escolha sequência com . Pela compacidade, extraia subsequência convergente . Pela continuidade , logo . Portanto o supremo é máximo; análogo para o ínfimo.
Consequência prática: em provas de existência de extremos em
basta usar compacidade + continuidade.
Passo 7
Definição:
é uniformemente contínua em
se, para todo
, existe
tal que para quaisquer
,
Diferença com continuidade pontual: aqui o
depende só de
e não do ponto onde se avalia.
Teorema de Heine–Cantor: se
é compacto (fechado e limitado) e
é contínua em
, então
é uniformemente contínua em
.
Esquema de prova:
- Suponha por contradição que não é uniformemente contínua. Então existe
e sequências com porém . - Como
é compacto, extraia subsequência . Então também (pois ). - Pela continuidade em
, e , então , contradizendo . Logo é uniformemente contínua.
Observação: em
inteiro (domínio não compacto) a afirmação pode falhar.
Passo 8
- Função contínua não limitada em
: . Mostra imediatamente que a hipótese “contínua em ” não garante boundedness. - Função contínua mas não uniformemente contínua em
: . Demonstração de não-uniforme continuidade: suponha que exista que sirva para . Tome e . Então mas
que cresce sem limite com
, contradizendo uma cota fixa
. Logo não existe
para esse
, isto é,
não é uniformemente contínua em
.
- Situação prática: se o enunciado pede “mostre que
é uniformemente contínua em ”, sem hipótese adicional isso é falso em geral; precisa-se de hipótese extra (por exemplo contínua e com derivada limitada, ou contínua e monotônica com crescimento controlado, ou domínio compacto, etc.).
Passo 9
Não é possível provar uma afirmação faltante: o enunciado está incompleto porque não diz qual propriedade devemos demonstrar a partir da hipótese “
contínua”. Até aqui listei definições fundamentais, teoremas importantes (teorema do valor intermediário, Weierstrass, Heine–Cantor) e contraexemplos padrão que costumam aparecer em provas — tudo em formato passo a passo e com explicações para que você possa aplicar na maioria das questões típicas.
Resposta
Não é possível completar a prova porque o enunciado está incompleto: falta a afirmação a ser demonstrada (o problema apenas diz que
é contínua, sem especificar qual propriedade provar).