Prove que se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é contínua, então:

Passo 1

O enunciado fornecido só diz que a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e termina em dois pontos: não há indicação do que exatamente devo provar. Ou seja:
  • Dados: a função f é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Pedido: NÃO ESTÁ ESPECIFICADO — falta a afirmação que devo demonstrar.
Não posso iniciar uma prova sem saber qual propriedade ou conclusão o enunciado quer (por exemplo: mostrar que f é limitada? que é uniformemente contínua? que satisfaz o teorema do valor intermediário? que é diferenciável? etc.). Portanto, neste passo fica explícito o que o problema nos deu e o que falta.

Passo 2

Para ser útil enquanto você corrige o enunciado, vou listar algumas afirmações comuns que professores pedem a partir da hipótese “ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua” e dizer rapidamente se elas são verdadeiras em geral ou não. Assim você já sabe o que costuma ser provável pedir e o que exige hipóteses adicionais:
  • f é limitada em \mathbb{R}”: em geral, NÃO. Contraexemplo simples: f(x)=x é contínua em \mathbb{R} e não é limitada.
  • f é uniformemente contínua em \mathbb{R}”: em geral, NÃO. Contraexemplo: f(x)=x^2 é contínua em \mathbb{R} mas não é uniformemente contínua em \mathbb{R}.
  • f satisfaz o Teorema do Valor Intermediário) em qualquer intervalo”: SIM — qualquer função contínua em um intervalo real tem o valor intermediário (IVT).
  • f atinge máximos e mínimos”: em geral, NÃO em todo \mathbb{R}; precisa de hipótese adicional (por exemplo, se f for contínua em um intervalo fechado e limitado [a,b], então SIM — Teorema de Weierstrass).
  • f é diferenciável”: em geral, NÃO (continuidade não implica diferenciabilidade).
Como não foi especificado o que provar, abaixo deixo uma mini-aula com definições e provas passo a passo das propriedades clássicas que costumam aparecer em exercícios — assim você ganha ferramentas para várias possibilidades.

Passo 3

Definição precisa: uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em um ponto x_0\in\mathbb{R} se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
O que isso significa, em palavras simples: para pedir que os valores de f fiquem dentro de uma “tolerância” \varepsilon em torno de f(x_0), basta tomar x suficientemente perto de x_0 (dentro de distância \delta). Continuidade em todo \mathbb{R} significa que essa condição vale para todo x_0\in\mathbb{R}.
Exemplo curto: provar que f(x)=x é contínua. Dado \varepsilon>0, escolhe-se \delta=\varepsilon. Se |x-x_0|<\delta então |f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|<\varepsilon. Pronto.

Passo 4

Proposição: f é contínua em x_0 se, e somente se, para toda sequência (x_n) com x_n\to x_0 temos f(x_n)\to f(x_0).
Prova (direção fácil): se f for contínua em x_0 e x_n\to x_0, então para dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. Como x_n\to x_0, existe N com |x_n-x_0|<\delta para n\ge N. Logo |f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon para n\ge N, ou seja f(x_n)\to f(x_0).
Prova (outra direção): se a propriedade sequencial vale para todo (x_n) com x_n\to x_0, a continuidade clássica também vale (contraposição: se não fosse contínua, existiria \varepsilon>0 tal que para todo k existe x com |x-x_0|<1/k e |f(x)-f(x_0)|\ge\varepsilon; escolhendo uma subsequência desses xs obtém-se uma sequência convergente para x_0 mas cujas imagens não convergem para f(x_0), contradizendo hipótese).
Essa equivalência é útil em provas mais intuitivas: para mostrar descontinuidade basta achar uma sequência x_n\to x_0 com f(x_n)\not\to f(x_0).

Passo 5

Enunciado: se f é contínua em um intervalo [a,b] e y_0 é um número entre f(a) e f(b) (isto é, f(a)\le y_0\le f(b) ou o contrário), então existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=y_0.
Prova (passo a passo usando completude de \mathbb{R}):
  1. Sem perda de generalidade, suponha f(a)\le y_0\le f(b).
  2. Considere o conjunto S=\{x\in[a,b]\mid f(x)\le y_0\}. Observações: a\in S (pois f(a)\le y_0), logo S é não vazio. Também S é limitado superiormente por b.
  3. Por completude, c=\sup S existe e c\in[a,b].
  4. Mostra-se que f\text{(c)}=y_0. Primeiro, qualquer sequência x_n\in S com x_n\to c satisfaz f(x_n)\le y_0 para todo n, e pela continuidade f(x_n)\to f\text{(c)}, então f\text{(c)}\le y_0.
  5. Por outro lado, tomando x>c suficientemente próximo de c (existem pontos de [a,b]\setminus S arbitrariamente próximos de c, caso contrário c não seria supremo), tem-se f(x)>y_0; pela continuidade isso força f\text{(c)}\ge y_0.
  6. Combinando f\text{(c)}\le y_0 e f\text{(c)}\ge y_0 conclui-se f\text{(c)}=y_0.
Esse teorema é a razão pela qual funções contínuas em intervalos não “pulam” valores.

Passo 6

Enunciado: se f é contínua em [a,b] com a<b, então f é limitada em [a,b] e existem pontos x_{\min},x_{\max}\in[a,b] tais que f(x_{\min})=\min_{[a,b]} f e f(x_{\max})=\max_{[a,b]} f.
Esboço da prova (passos essenciais):
  1. Mostra-se primeiro que f([a,b]) é um conjunto limitado: se não fosse, existiria uma sequência (x_n)\subset[a,b] tal que |f(x_n)|\to\infty. Como [a,b] é compacto, existe sub-sequência x_{n_k}\to x_0\in[a,b]. Pela continuidade f(x_{n_k})\to f(x_0), o que contradiz o fato de |f(x_{n_k})|\to\infty. Logo f é limitada.
  2. Seja M=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}. Como f([a,b]) é limitado, M existe finito. Escolha sequência x_n com f(x_n)\to M. Pela compacidade, extraia subsequência convergente x_{n_k}\to x_0\in[a,b]. Pela continuidade f(x_{n_k})\to f(x_0), logo f(x_0)=M. Portanto o supremo é máximo; análogo para o ínfimo.
Consequência prática: em provas de existência de extremos em [a,b] basta usar compacidade + continuidade.

Passo 7

Definição: f:D\to\mathbb{R} é uniformemente contínua em D se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que para quaisquer x,y\in D,
|x-y|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(y)|<\varepsilon.
Diferença com continuidade pontual: aqui o \delta depende só de \varepsilon e não do ponto onde se avalia.
Teorema de Heine–Cantor: se D\subset\mathbb{R} é compacto (fechado e limitado) e f é contínua em D, então f é uniformemente contínua em D.
Esquema de prova:
  1. Suponha por contradição que não é uniformemente contínua. Então existe \varepsilon_0>0 e sequências x_n,y_n\in D com |x_n-y_n|<1/n porém |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0.
  2. Como D é compacto, extraia subsequência x_{n_k}\to x_0\in D. Então y_{n_k}\to x_0 também (pois |x_{n_k}-y_{n_k}|\to 0).
  3. Pela continuidade em x_0, f(x_{n_k})\to f(x_0) e f(y_{n_k})\to f(x_0), então |f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\to 0, contradizendo |f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\ge\varepsilon_0. Logo f é uniformemente contínua.
Observação: em \mathbb{R} inteiro (domínio não compacto) a afirmação pode falhar.

Passo 8

  • Função contínua não limitada em \mathbb{R}: f(x)=x. Mostra imediatamente que a hipótese “contínua em \mathbb{R}” não garante boundedness.
  • Função contínua mas não uniformemente contínua em \mathbb{R}: f(x)=x^2. Demonstração de não-uniforme continuidade: suponha que exista \delta>0 que sirva para \varepsilon=1. Tome x=N e y=N+\frac{\delta}{2}. Então |x-y|<\delta mas
|f(x)-f(y)|=|N^2-(N+\tfrac{\delta}{2})^2|=|-\delta N - \tfrac{\delta^2}{4}|=\delta\left(N+\tfrac{\delta}{4}\right),
que cresce sem limite com N, contradizendo uma cota fixa \varepsilon=1. Logo não existe \delta para esse \varepsilon, isto é, x^2 não é uniformemente contínua em \mathbb{R}.
  • Situação prática: se o enunciado pede “mostre que f é uniformemente contínua em \mathbb{R}”, sem hipótese adicional isso é falso em geral; precisa-se de hipótese extra (por exemplo f contínua e com derivada limitada, ou f contínua e monotônica com crescimento controlado, ou domínio compacto, etc.).

Passo 9

Não é possível provar uma afirmação faltante: o enunciado está incompleto porque não diz qual propriedade devemos demonstrar a partir da hipótese “ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} contínua”. Até aqui listei definições fundamentais, teoremas importantes (teorema do valor intermediário, Weierstrass, Heine–Cantor) e contraexemplos padrão que costumam aparecer em provas — tudo em formato passo a passo e com explicações para que você possa aplicar na maioria das questões típicas.

Resposta

Não é possível completar a prova porque o enunciado está incompleto: falta a afirmação a ser demonstrada (o problema apenas diz que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua, sem especificar qual propriedade provar).

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