Pelo item anterior, \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0 para n\ge1, \int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\cos(nx)\,dx=0 para todo k, e \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(nx)\,dx=0 quando k\neq n, enquanto para k=n vale \int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(nx)\,dx=\pi. Assim todos os termos somados desaparecem, exceto o termo k=n na soma com a_{n}. Logo
Pelo que vimos em ortogonalidade, \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx=0, \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(nx)\,dx=0 para todo k, \int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(nx)\,dx=0 quando k\neq n e =\pi quando k=n. Assim somente o termo k=n da soma com b_{n} sobrevive, e
Resumo final e dicas rápidas (modo amigo): as fórmulas vieram direto da ortogonalidade de senos e cossenos sobre um período 2\pi. Na prática de prova, o procedimento é sempre o mesmo:
Multiplica f por \cos(nx) (ou \sin(nx)) e integra em [-\,\pi,\pi].
Usa-se que produtos mistos têm integral zero e que \int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(nx)\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(nx)\,dx=\pi para n\ge1.
Para n=0 cuidar do fator 1/2 que aparece em a_{0}/2; por isso a_{0}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.
Fazendo isso com calma e lembrando as integrais básicas de \sin e \cos (antiderivadas são -\cos/k e \sin/k), dá para calcular os coeficientes mesmo sem calculadora em muitos casos. Força — já está dominando o método!
Resposta
a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad 0\le n\le N b_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad 1\le n\le N