Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função expressa como série de Fourier finita
f(x)=\frac{1}{2} a_{0}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n} \cos (n x)+b_{n} \operatorname{sen}(n x)\right]
em N>0 é um inteiro e a_{0}, a_{1}, b_{1}, \ldots, a_{N}, b_{N} são números reais. Mostre que
\begin{aligned} & a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (n x) d x, \quad 0 \leq n \leq N \\\ & b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \operatorname{sen}(n x) d x, \quad 1 \leq n \leq N \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} escrita como série de Fourier finita
f(x)=\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right],
onde N>0 é um inteiro e os números a_{0},a_{1},b_{1},\dots,a_{N},b_{N} são reais.
O que precisamos mostrar é que os coeficientes são dados por
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad 0\le n\le N,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad 1\le n\le N.
Listei o que foi dado e exatamente o que se pede; agora vamos provar essas fórmulas passo a passo.

Passo 2

Vamos usar as relações de ortogonalidade entre senos e cossenos no intervalo [-\,\pi,\pi]. Mostro e justifico cada integral que vamos precisar.
Usamos as fórmulas produto-para-soma:
\cos(mx)\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)\big),
\sin(mx)\sin(nx)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x)\big),
\sin(mx)\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\big(\sin((m+n)x)+\sin((m-n)x)\big).
Agora integramos cada uma em [-\,\pi,\pi]. Para k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\} vale
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{-\pi}^{\pi}=0,
pois \sin(k\pi)=0. Também
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\,dx=\left.-\frac{\cos(kx)}{k}\right|_{-\pi}^{\pi}=0,
pois \cos(k\pi)=\pm1 e os termos se cancelam nos limites simétricos. Para k=0 temos \cos(0x)=1 e
\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi.
Com essas observações calculamos as integrais de interesse:
  • Se m\neq n (ambos inteiros não negativos),
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx=0,
pois cada termo \cos((m\pm n)x) integra zero quando o argumento não é identicamente zero.
  • Se m=n\ge1,
\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(nx)\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\tfrac{1+\cos(2nx)}{2}\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot 2\pi + 0=\pi.
  • Analogamente, para m\neq n,
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx=0,
e para m=n\ge1,
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(nx)\,dx=\pi.
  • Para quaisquer inteiros m,n\ge0,
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)\,dx=0.
Resumindo as propriedades de ortogonalidade que vamos usar:
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx= \begin{cases} 2\pi,& m=n=0,\\[4pt] \pi,& m=n\ge1,\\[4pt] 0,& m\neq n, \end{cases}
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx= \begin{cases} 0,& m=0\text{ or }n=0,\\[4pt] \pi,& m=n\ge1,\\[4pt] 0,& m\neq n, \end{cases}
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)\,dx=0\quad\text{para todos }m,n\ge0.]

Passo 3

Agora multiplico a expressão de f(x) por \cos(nx) e integro em [-\,\pi,\pi]. Primeiro faço o caso n\ge1.
Escrevo a integral:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\left[\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{k=1}^{N}\big(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\big)\right]\cos(nx)\,dx.
Distribuindo a integral:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{2}a_{0}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx +\sum_{k=1}^{N}\left[a_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(nx)\,dx +b_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\cos(nx)\,dx\right].
Pelo item anterior, \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0 para n\ge1, \int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\cos(nx)\,dx=0 para todo k, e \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(nx)\,dx=0 quando k\neq n, enquanto para k=n vale \int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(nx)\,dx=\pi. Assim todos os termos somados desaparecem, exceto o termo k=n na soma com a_{n}. Logo
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx = a_{n}\cdot\pi.
Dividindo por \pi obtemos, para 1\le n\le N,
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx.
Agora o caso n=0. Note que \cos(0x)=1. Multiplicando por 1 e integrando:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\left[\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{k=1}^{N}\big(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\big)\right]dx.
Como \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx=0 e \int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\,dx=0 para k\ge1, resta apenas o termo constante:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \frac{1}{2}a_{0}\cdot 2\pi = a_{0}\pi.
Dividindo por \pi obtemos
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
o que é consistente com a fórmula a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx se tomarmos n=0 (pois \cos(0x)=1).
Assim concluímos a fórmula para todos os n com 0\le n\le N.

Passo 4

Fazemos agora o mesmo procedimento para os coeficientes b_{n} com 1\le n\le N. Multiplico f(x) por \sin(nx) e integro em [-\,\pi,\pi]:
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\left[\frac{1}{2}a_{0}+\sum_{k=1}^{N}\big(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\big)\right]\sin(nx)\,dx.
Distribuindo,
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{2}a_{0}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx +\sum_{k=1}^{N}\left[a_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(nx)\,dx +b_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(nx)\,dx\right].
Pelo que vimos em ortogonalidade, \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx=0, \int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(nx)\,dx=0 para todo k, \int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(nx)\,dx=0 quando k\neq n e =\pi quando k=n. Assim somente o termo k=n da soma com b_{n} sobrevive, e
\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = b_{n}\cdot\pi.
Dividindo por \pi obtemos, para 1\le n\le N,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 5

Resumo final e dicas rápidas (modo amigo): as fórmulas vieram direto da ortogonalidade de senos e cossenos sobre um período 2\pi. Na prática de prova, o procedimento é sempre o mesmo:
  • Multiplica f por \cos(nx) (ou \sin(nx)) e integra em [-\,\pi,\pi].
  • Usa-se que produtos mistos têm integral zero e que \int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}(nx)\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(nx)\,dx=\pi para n\ge1.
  • Para n=0 cuidar do fator 1/2 que aparece em a_{0}/2; por isso a_{0}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.
Fazendo isso com calma e lembrando as integrais básicas de \sin e \cos (antiderivadas são -\cos/k e \sin/k), dá para calcular os coeficientes mesmo sem calculadora em muitos casos. Força — já está dominando o método!

Resposta

a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad 0\le n\le N
b_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad 1\le n\le N

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