Resolva as inequações em \mathbb{R}.
|3 x-4| \leq 2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se resolver em \mathbb{R} a inequação \,|3x-4| \leq 2.
  • Informação dada: uma expressão dentro de valor absoluto 3x-4 e uma desigualdade do tipo “menor ou igual” com o número 2 do outro lado.

Passo 2

Lembrete didático sobre valor absoluto e a técnica que vamos usar.
  • Definição: para qualquer número real a\), \[|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}Intuitivamente, |a|\] é a distância de \(a até 0 na reta real.
  • Regra útil para inequações do tipo |A| \le b com b\ge 0: isso é equivalente a -b \le A \le b.Explicação rápida: |A|\le b significa que a distância de A a 0 é no máximo b, logo A está dentro do intervalo [-b,b].]

Passo 3

Aplicar a regra ao nosso caso.
  • Aqui A = 3x-4 e b=2. Pela regra, -2 \le 3x-4 \le 2.

Passo 4

Resolver a desigualdade composta passo a passo.
  • Primeiro somamos 4 a todos os três membros (somar o mesmo número em uma desigualdade composta preserva as desigualdades): -2+4 \le 3x \le 2+4.Ou seja, 2 \le 3x \le 6.

Passo 5

Isolar x.
  • Como 3>0, ao dividir todos os membros por 3 as desigualdades mantêm o sentido: \frac{2}{3} \le x \le 2.

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança).
  • Teste nos extremos: para x=\frac{2}{3}, 3x-4=2-4=-2 e |-2|=2\le 2 certo.
  • Para x=2, 3x-4=6-4=2 e |2|=2\le 2 certo.
  • Teste interior: x=1 3-4=-1 e |-1|=1\le2 certo.
  • Teste fora do intervalo: x=3 9-4=5 e |5|=5\not\le2 então não vale.

Resposta

\left[\dfrac{2}{3},\,2\right]

Exercícios relacionados