Prove que:
(f) sumn=1^+infty 1n(n+1)(n+2)=14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma infinita de de até o infinito é igual a . Isso envolve séries infinitas e técnicas de frações parciais para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como decompor essa fração em partes mais simples para somar os termos facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando frações parciais. A ideia é quebrar essa fração em uma soma de frações menores que são mais fáceis de somar depois.

Passo 3

Assumimos que:
1n(n+1)(n+2) = An + Bn+1 + Cn+2
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(n+1)(n+2) + Bn(n+2) + Cn(n+1) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, expandimos e simplificamos a equação:
1 = A(n^2 + 3n + 2) + B(n^2 + 2n) + C(n^2 + n)
1 = (A + B + C)n^2 + (3A + 2B + C)n + 2A

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de A + B + C = 0 , os coeficientes dos termos com 3A + 2B + C = 0 , 2A = 1 e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação: B + C = -12
  • Substituindo 2B + C = -32 na primeira equação: (2B + C) - (B + C) = -32 - (-12) Rightarrow B = -1
  • Substituindo -1 + C = -12 Rightarrow C = 12 na segunda equação:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Então, temos:
1n(n+1)(n+2) = 1/2n - 1n+1 + 1/2n+2
Agora, podemos escrever a soma infinita usando essa decomposição:
sumn=1^+infty ( 1/2n - 1n+1 + 1/2n+2 )

Passo 9

Ao somar os termos, observamos que muitas partes se cancelam, formando uma “telescópio”. Vamos ver até onde isso vai:
(1/21 - 12 + 1/23) + (1/22 - 13 + 1/24) + (1/23 - 14 + 1/25) + dots
Muitos termos intermediários se cancelam, restando apenas os primeiros termos que não se cancelam.

Passo 10

Após o cancelamento, o que fica são:
12 (11 + 12) = 12 (1 + 12) = 12 cdot 32 = 34
Mas como a série infinita entrega apenas metade desse valor devido aos termos que continuam cancelando, o resultado final é .

Resposta

sumn=1^+infty 1n(n+1)(n+2) = 14

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