Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
integral duplaS rot F cdot n d S
numa integral de linha e calcule, onde F(x, y, z)=y i, S é a superfície z=x^2+y^2 com z <= 1 e n a normal com componente z positiva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial F(x, y, z) = y i sobre a superfície S que é um paraboloide z = x^2 + y^2 limitado por z <= 1. A gente vai usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha, facilitando o cálculo. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, o Teorema de Stokes e como parametrizar a curva de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por rot F ou nabla times F, mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Para o nosso campo F = y i, vamos calcular o rotacional.
A fórmula do rotacional é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Para F = y i, temos Fx = y, Fy = 0, Fz = 0.
Calculando cada componente:
  • Componente i:
    partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 0 - 0 = 0
  • Componente j:
    partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = 0 - 0 = 0
  • Componente k:
    partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 0 - 1 = -1
Então,
nabla times F = -k

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, que diz que:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointC F cdot dr
Onde C é a curva de contorno da superfície S. No nosso caso, S é o paraboloide z = x^2 + y^2 até z = 1, então a curva C é o círculo onde z = 1, ou seja, x^2 + y^2 = 1.
Vamos parametrizar essa curva. Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Seja:
x = cos theta y = sin theta z = 1
Onde theta varia de 0 a 2pi.
O vetor posição r(theta) é então:
r(theta) = cos theta i + sin theta j + 1 k
A derivada de r(theta) em relação a theta é:
drdtheta = -sin theta i + cos theta j + 0 k
Então, dr = (-sin theta i + cos theta j) dtheta.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha ointC F cdot dr.
Substituindo F = y i e a parametrização da curva C:
F = y i = sin theta i
Então,
F cdot dr = (sin theta i) cdot (-sin theta i + cos theta j) dtheta = -sin^2 theta , dtheta + 0 = -sin^2 theta , dtheta
Portanto, a integral de linha fica:
ointC F cdot dr = -integral0^2pi sin^2 theta , dtheta

Passo 5

Vamos calcular a integral:
-integral0^2pi sin^2 theta , dtheta
Sabemos que:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Então,
-integral0^2pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta = -12 integral0^2pi (1 - cos(2theta)) , dtheta
Integrando termo a termo:
-12 [ integral0^2pi 1 , dtheta - integral0^2pi cos(2theta) , dtheta ]
Calculando as integrais:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = 0
Então,
-12 (2pi - 0) = -pi

Resposta

A integral vale -pi.

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