Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule, onde , é a superfície com e a normal com componente positiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial sobre a superfície que é um paraboloide limitado por . A gente vai usar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha, facilitando o cálculo. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional, o Teorema de Stokes e como parametrizar a curva de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. Para o nosso campo , vamos calcular o rotacional.
A fórmula do rotacional é:
Para , temos , , .
Calculando cada componente:
Componente :
Componente :
Componente :
Então,
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, que diz que:
Onde é a curva de contorno da superfície . No nosso caso, é o paraboloide até , então a curva é o círculo onde , ou seja, .
Vamos parametrizar essa curva. Podemos usar coordenadas polares para facilitar. Seja:
Onde theta varia de 0 a 2pi.
O vetor posição r(theta) é então:
r(theta) = cos theta i + sin theta j + 1 k
A derivada de r(theta) em relação a theta é:
drdtheta = -sin theta i + cos theta j + 0 k
Então, dr = (-sin theta i + cos theta j) dtheta.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha ointC F cdot dr.
Substituindo F = y i e a parametrização da curva C:
F = y i = sin theta i
Então,
F cdot dr = (sin theta i) cdot (-sin theta i + cos theta j) dtheta = -sin^2 theta , dtheta + 0 = -sin^2 theta , dtheta
Portanto, a integral de linha fica:
ointC F cdot dr = -integral0^2pi sin^2 theta , dtheta