Prove que \sqrt{x} é uma função contínua em todo x \geq 0 e derivável em x>0, mas não é derivável em x=0.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Mostrar que \sqrt{x} é contínua para todo x\ge 0.
  • Mostrar que \sqrt{x} é derivável para todo x>0 e obter a derivada.
  • Mostrar que \sqrt{x} não é derivável em x=0.
Informações dadas: a função é f(x)=\sqrt{x} com domínio [0,\infty). Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Definições e estratégia (mini-aula rápida e sem jargão).
  • Continuidade em um ponto a: significa que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Em termos de \varepsilon- \delta: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-a|<\delta (e x no domínio), então |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
  • Derivada em um ponto a (quando existe): \displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, se esse limite existe e é finito. Para um ponto interior do domínio consideram-se h\to0 por ambos os lados; para um extremo do domínio (aqui 0) fala-se em derivada lateral direita \emph{se for o caso}.
  • Técnica útil que vamos usar várias vezes: racionalizar diferenças envolvendo raízes quadradas. A identidade-alvo é
\sqrt{u}-\sqrt{v}=\frac{u-v}{\sqrt{u}+\sqrt{v}},
válida sempre que \sqrt{u}+\sqrt{v}\neq0.

Passo 3

Provar continuidade em um ponto fixo a>0.
Começo calculando a diferença:
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr| =\left|\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right| =\frac{|x-a|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.
Agora, para qualquer x\ge0 a soma \sqrt{x}+\sqrt{a} é \ge\sqrt{a} (porque \sqrt{x}\ge0). Assim
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr| \le \frac{|x-a|}{\sqrt{a}}.
Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\sqrt{a}\,\varepsilon. Então, se |x-a|<\delta temos
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr|\le\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\frac{\delta}{\sqrt{a}}=\varepsilon.
Isso mostra (pela definição \varepsilon- \delta) que \sqrt{x} é contínua em qualquer a>0.

Passo 4

Provar continuidade em a=0.
Aqui a diferença é \bigl|\sqrt{x}-\sqrt{0}\bigr|=\sqrt{x}. Dado \varepsilon>0, se tomarmos \delta=\varepsilon^2 então, para 0\le x<\delta,
\bigl|\sqrt{x}-0\bigr|=\sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon.
Portanto \sqrt{x} é contínua em 0. Juntando com o passo anterior, \sqrt{x} é contínua para todo x\ge0.

Passo 5

Definição de derivada e cálculo para um ponto x>0.
Recordando: a derivada é o limite do quociente incremental
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe.
Para f(x)=\sqrt{x} e x>0 (assim x+h ficará próximo e em domínio para h pequeno), calculemos o quociente e racionalizemos:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{(x+h)-x}{h\bigl(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
Agora tomamos h\to0. Como x>0, \sqrt{x+h}\to\sqrt{x}, então
\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto a derivada existe para todo x>0 e vale
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\qquad (x>0).
Comentário pedagógico: a racionalização é a chave para simplificar o quociente e ver o limite. Note que o denominador final não se anula porque x>0.

Passo 6

Mostrar que não existe derivada finita em x=0.
No ponto 0 o domínio é um extremo ( [0,\infty)). Para avaliar derivabilidade em 0 consideramos a derivada lateral direita (já que à esquerda a função não está definida). O quociente incremental para x=0 e h>0 é
\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}.
Quando h\to0^+ temos \displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}\to+\infty. Isso significa que o limite lateral direito não é finito; logo não existe derivada finita em 0. Além disso, para h<0 o quociente não é definido (pois \sqrt{h} não é real), então não há limite bilateral. Conclusão: \sqrt{x} não é derivável em x=0.

Resposta

\sqrt{x} é contínua para todo x\ge 0.\n \sqrt{x} é derivável para todo x>0 e f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0.\n \sqrt{x} não é derivável em x=0.

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