Prove que \sqrt{x} é uma função contínua em todo x \geq 0 e derivável em x>0, mas não é derivável em x=0.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Mostrar que \sqrt{x} é contínua para todo x\ge 0.
Mostrar que \sqrt{x} é derivável para todo x>0 e obter a derivada.
Mostrar que \sqrt{x} não é derivável em x=0.
Informações dadas: a função é f(x)=\sqrt{x} com domínio [0,\infty). Não há outros dados numéricos.
Passo 2
Definições e estratégia (mini-aula rápida e sem jargão).
Continuidade em um ponto a: significa que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Em termos de \varepsilon-\delta: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se |x-a|<\delta (e x no domínio), então |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Derivada em um ponto a (quando existe): \displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, se esse limite existe e é finito. Para um ponto interior do domínio consideram-se h\to0 por ambos os lados; para um extremo do domínio (aqui 0) fala-se em derivada lateral direita \emph{se for o caso}.
Técnica útil que vamos usar várias vezes: racionalizar diferenças envolvendo raízes quadradas. A identidade-alvo é
Comentário pedagógico: a racionalização é a chave para simplificar o quociente e ver o limite. Note que o denominador final não se anula porque x>0.
Passo 6
Mostrar que não existe derivada finita em x=0.
No ponto 0 o domínio é um extremo ([0,\infty)). Para avaliar derivabilidade em 0 consideramos a derivada lateral direita (já que à esquerda a função não está definida). O quociente incremental para x=0 e h>0 é
Quando h\to0^+ temos \displaystyle \frac{1}{\sqrt{h}}\to+\infty. Isso significa que o limite lateral direito não é finito; logo não existe derivada finita em 0. Além disso, para h<0 o quociente não é definido (pois \sqrt{h} não é real), então não há limite bilateral. Conclusão: \sqrt{x} não é derivável em x=0.
Resposta
\sqrt{x} é contínua para todo x\ge 0.\n\sqrt{x} é derivável para todo x>0 e f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0.\n\sqrt{x} não é derivável em x=0.