Prove que
f(z)=(3 x+y)+i(3 y-x)
é inteira (isto é, diferenciável em todo \mathbb{C} ).

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função
f(z)=(3 x+y)+i(3 y-x)
é inteira, isto é, é diferenciável em todo \mathbb{C}.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
z=x+iy,\qquad x,y\in\mathbb{R},
e escrevemos f em termos das partes real e imaginária:
u(x,y)=3x+y,\qquad v(x,y)=3y-x.
Objetivo imediato: mostrar que f é holomorfa em todo ponto de \mathbb{C} (diferenciável complexamente em cada ponto).

Passo 2

Explico o critério que vou usar (com calma, como num resumo de prova): uma função f=u+iv é diferenciável complexamente num ponto se existir a derivada complexa pelo limite, mas na prática usamos o Teorema de Cauchy–Riemann, que é mais rápido em exercícios. O teorema (uma forma útil para provas) diz:
Se u e v têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas num vizinhança de um ponto e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto,
então f é holomorfa nesse ponto.
As equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -v_x,
onde u_x denota a derivada parcial de u em relação a x, e assim por diante. Vou calcular essas derivadas e verificar as igualdades; além disso comentarei sobre a continuidade das derivadas parciais.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de u e v. Lembre que derivada parcial em x trata y como constante, e em y trata x como constante.
Para u(x,y)=3x+y:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(3x+y)=3,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}(3x+y)=1.
Para v(x,y)=3y-x:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}(3y-x)=-1,
v_y = \frac{\partial}{\partial y}(3y-x)=3.
Estas derivadas são constantes (não dependem de x nem de y).

Passo 4

Verificamos agora as equações de Cauchy–Riemann com os valores obtidos:
Compare u_x e v_y:
u_x = 3,\qquad v_y = 3 \quad\Rightarrow\quad u_x = v_y.
Compare u_y e -v_x:
u_y = 1,\qquad -v_x = -(-1)=1 \quad\Rightarrow\quad u_y = -v_x.
Portanto as duas equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo ponto (x,y).

Passo 5

As derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y que calculamos são constantes (valores 3,1,-1,3), logo são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Pelo teorema citado no Passo 2, como as derivadas parciais de primeira ordem existem, são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em todo ponto, conclui-se que f é holomorfa em todo \mathbb{C}, ou seja, inteira.
Além disso, a mesma verificação nos dá a derivada complexa explícita: quando as equações de Cauchy–Riemann valem, a derivada complexa pode ser calculada por
f'(z)=u_x + i v_x.
Substituindo:
f'(z)=3 + i(-1)=3-i,
constante em todo \mathbb{C}.

Passo 6

Uma abordagem alternativa, rápida para usar na prova, é notar que f é simplesmente a multiplicação de z por um número complexo constante. De fato:
(3-i)z=(3-i)(x+iy)=3x+3iy-ix-i^2y=(3x+y)+i(3y-x),
que é exatamente f(z). Uma vez escrita f(z)=(3-i)z, fica imediato que f é inteira (polinômio de grau 1 em z) e f'(z)=3-i.

Resposta

f é inteira em \mathbb{C} e f'(z)=3-i.

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