Prove que
é inteira (isto é, diferenciável em todo
).
Passo 1
O enunciado pede para provar que a função
é inteira, isto é, é diferenciável em todo
.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
e escrevemos
em termos das partes real e imaginária:
Objetivo imediato: mostrar que
é holomorfa em todo ponto de
(diferenciável complexamente em cada ponto).
Passo 2
Explico o critério que vou usar (com calma, como num resumo de prova): uma função
é diferenciável complexamente num ponto se existir a derivada complexa pelo limite, mas na prática usamos o Teorema de Cauchy–Riemann, que é mais rápido em exercícios. O teorema (uma forma útil para provas) diz:
Se
e
têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas num vizinhança de um ponto e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann naquele ponto,
então é holomorfa nesse ponto.
então
As equações de Cauchy–Riemann são
onde
denota a derivada parcial de
em relação a
, e assim por diante. Vou calcular essas derivadas e verificar as igualdades; além disso comentarei sobre a continuidade das derivadas parciais.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
e
. Lembre que derivada parcial em
trata
como constante, e em
trata
como constante.
Para
:
Para
:
Estas derivadas são constantes (não dependem de
nem de
).
Passo 4
Verificamos agora as equações de Cauchy–Riemann com os valores obtidos:
Compare
e
:
Compare
e
:
Portanto as duas equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo ponto
.
Passo 5
As derivadas parciais
que calculamos são constantes (valores
), logo são contínuas em todo
. Pelo teorema citado no Passo 2, como as derivadas parciais de primeira ordem existem, são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em todo ponto, conclui-se que
é holomorfa em todo
, ou seja, inteira.
Além disso, a mesma verificação nos dá a derivada complexa explícita: quando as equações de Cauchy–Riemann valem, a derivada complexa pode ser calculada por
Substituindo:
constante em todo
.
Passo 6
Uma abordagem alternativa, rápida para usar na prova, é notar que
é simplesmente a multiplicação de
por um número complexo constante. De fato:
que é exatamente
. Uma vez escrita
, fica imediato que
é inteira (polinômio de grau
em
) e
.