Derive a forma polar da equação de Laplace
Passo 1
O enunciado pede: derivar a forma em coordenadas polares da equação de Laplace
Informações dadas e o que vamos usar:
onde
e
é o ângulo polar. A função
é originalmente dada como
, mas vamos tratá‑la como função de
e
, isto é,
(escrevendo os parciais em
como
). O objetivo final é escrever
em termos de derivadas em
e
.
Passo 2
Primeiro precisamos das derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Definições úteis:
mas vamos obter
de forma simples.
Derivando
em relação a
:
Analogamente,
Para
usamos
. Diferenciando implicitamente (ou usando fórmulas conhecidas),
Resumo (que vamos usar várias vezes):
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para obter
e
. A regra da cadeia diz que, para
,
onde
e
.
Substituindo as derivadas de
e
do passo anterior:
Essas fórmulas fazem muito sentido: parte radial
projetada nas direções
e parte angular
com fator
.
Passo 4
Agora calculamos
. Para isso aplicamos produto e cadeia de novo. Começamos escrevendo
como soma de dois termos e diferenciando cada um:
Termo A:
.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Usando
e
e
, obtemos
Termo B:
.
Derivando em relação a (produto de três fatores:
,
,
,
):
Derivando em relação a
Calculamos cada pedaço:
Substituindo e simplificando, obtemos (após agrupar termos semelhantes)
Simplificando o sinal final (já que havia o menos fora):
Somando Termo A e Termo B, obtemos
Passo 5
Agora calculamos
de forma análoga. Lembrando
diferenciamos cada termo:
Derivando
em
:
Usando
, obtemos
Derivando
em
:
Com
obtemos (após simplificar)
Somando as contribuições:
Passo 6
Agora somamos
e
. Reunindo os termos obtidos nos passos 4 e 5:
- Termos com
:
- Termos com
:
ou seja, cancelam.
- Termos com
:
- Termos com
(não derivadas):
cancelam também.
- Termos com
:
Somando tudo:
Passo 7
Concluímos que a equação de Laplace
escrita em coordenadas polares fica
Interpretação rápida:
é a curvatura radial,
aparece por causa da variação da área dos anéis circulares com
, e
é a contribuição angular devidamente escalada.