Derive a forma polar da equação de Laplace
u_{x x}+u_{y y}=0 .

Passo 1

O enunciado pede: derivar a forma em coordenadas polares da equação de Laplace
u_{x x}+u_{y y}=0.
Informações dadas e o que vamos usar:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo polar. A função u é originalmente dada como u(x,y), mas vamos tratá‑la como função de r e \theta, isto é, u(x,y)=u(r,\theta) (escrevendo os parciais em r,\theta como u_{r},u_{\theta},u_{rr},u_{r\theta},u_{\theta\theta}). O objetivo final é escrever u_{xx}+u_{yy} em termos de derivadas em r e \theta.

Passo 2

Primeiro precisamos das derivadas parciais de r e \theta em relação a x e y. Definições úteis:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\operatorname{atan2}(y,x),
mas vamos obter \partial r/\partial x,\partial r/\partial y,\partial\theta/\partial x,\partial\theta/\partial y de forma simples.
Derivando r^{2}=x^{2}+y^{2} em relação a x:
2r\,\frac{\partial r}{\partial x}=2x\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}=\cos\theta.
Analogamente,
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}=\sin\theta.
Para \theta usamos \tan\theta=y/x. Diferenciando implicitamente (ou usando fórmulas conhecidas),
\frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{\sin\theta}{r}, \qquad \frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\cos\theta}{r}.
Resumo (que vamos usar várias vezes):
\frac{\partial r}{\partial x}=\cos\theta,\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\sin\theta,\quad \frac{\partial \theta}{\partial x}=-\frac{\sin\theta}{r},\quad \frac{\partial \theta}{\partial y}=\frac{\cos\theta}{r}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para obter u_{x} e u_{y}. A regra da cadeia diz que, para u=u(r,\theta),
u_{x}=u_{r}\frac{\partial r}{\partial x}+u_{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial x}, \qquad u_{y}=u_{r}\frac{\partial r}{\partial y}+u_{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial y},
onde u_{r}=\partial u/\partial r e u_{\theta}=\partial u/\partial \theta.
Substituindo as derivadas de r e \theta do passo anterior:
u_{x}=u_{r}\cos\theta+u_{\theta}\Big(-\frac{\sin\theta}{r}\Big) = u_{r}\cos\theta-\frac{1}{r}u_{\theta}\sin\theta,
u_{y}=u_{r}\sin\theta+u_{\theta}\Big(\frac{\cos\theta}{r}\Big) = u_{r}\sin\theta+\frac{1}{r}u_{\theta}\cos\theta.
Essas fórmulas fazem muito sentido: parte radial u_{r} projetada nas direções \cos\theta,\sin\theta e parte angular u_{\theta} com fator 1/r.

Passo 4

Agora calculamos u_{xx}=\partial(u_{x})/\partial x. Para isso aplicamos produto e cadeia de novo. Começamos escrevendo u_{x} como soma de dois termos e diferenciando cada um:
Termo A: u_{r}\cos\theta.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}(u_{r}\cos\theta) = \big(u_{rr}\frac{\partial r}{\partial x}+u_{r\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}\big)\cos\theta + u_{r}\frac{\partial}{\partial x}(\cos\theta).
Usando \partial r/\partial x=\cos\theta e \partial\theta/\partial x=-\sin\theta/r e \partial(\cos\theta)/\partial x=-\sin\theta\,\partial\theta/\partial x=\sin^{2}\theta/r, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(u_{r}\cos\theta) = u_{rr}\cos^{2}\theta -\frac{1}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta +\frac{1}{r}u_{r}\sin^{2}\theta.
Termo B: -\dfrac{1}{r}u_{\theta}\sin\theta.
Derivando em relação a x (produto de três fatores: -1, 1/r, u_{\theta}, \sin\theta):
\frac{\partial}{\partial x}\Big(-\frac{1}{r}u_{\theta}\sin\theta\Big) = -\Big(\frac{\partial(1/r)}{\partial x}u_{\theta}\sin\theta +\frac{1}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial x}\sin\theta +\frac{1}{r}u_{\theta}\frac{\partial\sin\theta}{\partial x}\Big).
Calculamos cada pedaço:
\frac{\partial(1/r)}{\partial x}=-\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial r}{\partial x}=-\frac{\cos\theta}{r^{2}},
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial x}=u_{r\theta}\frac{\partial r}{\partial x}+u_{\theta\theta}\frac{\partial\theta}{\partial x} = u_{r\theta}\cos\theta-\frac{1}{r}u_{\theta\theta}\sin\theta,
\frac{\partial\sin\theta}{\partial x}=\cos\theta\frac{\partial\theta}{\partial x}=-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r}.
Substituindo e simplificando, obtemos (após agrupar termos semelhantes)
\frac{\partial}{\partial x}\Big(-\frac{1}{r}u_{\theta}\sin\theta\Big) = -\Big(-\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}u_{\theta} +\frac{1}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta -\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}\sin^{2}\theta\Big).
Simplificando o sinal final (já que havia o menos fora):
\frac{\partial}{\partial x}\Big(-\frac{1}{r}u_{\theta}\sin\theta\Big) = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}u_{\theta} -\frac{1}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta +\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}\sin^{2}\theta.
Somando Termo A e Termo B, obtemos
u_{xx} = u_{rr}\cos^{2}\theta -\frac{2}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta +\frac{1}{r}u_{r}\sin^{2}\theta +\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}u_{\theta} +\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}\sin^{2}\theta.

Passo 5

Agora calculamos u_{yy}=\partial(u_{y})/\partial y de forma análoga. Lembrando
u_{y}=u_{r}\sin\theta+\frac{1}{r}u_{\theta}\cos\theta,
diferenciamos cada termo:
Derivando u_{r}\sin\theta em y:
\frac{\partial}{\partial y}(u_{r}\sin\theta) = \big(u_{rr}\frac{\partial r}{\partial y}+u_{r\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}\big)\sin\theta + u_{r}\frac{\partial\sin\theta}{\partial y}.
Usando \partial r/\partial y=\sin\theta,\\ \partial\theta/\partial y=\cos\theta/r,\\ \partial\sin\theta/\partial y=\cos^{2}\theta/r, obtemos
\frac{\partial}{\partial y}(u_{r}\sin\theta) = u_{rr}\sin^{2}\theta +\frac{1}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta +\frac{1}{r}u_{r}\cos^{2}\theta.
Derivando \dfrac{1}{r}u_{\theta}\cos\theta em y:
\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{1}{r}u_{\theta}\cos\theta\Big) = \frac{\partial(1/r)}{\partial y}u_{\theta}\cos\theta +\frac{1}{r}\frac{\partial u_{\theta}}{\partial y}\cos\theta +\frac{1}{r}u_{\theta}\frac{\partial\cos\theta}{\partial y}.
Com
\frac{\partial(1/r)}{\partial y}=-\frac{\sin\theta}{r^{2}},\quad \frac{\partial u_{\theta}}{\partial y}=u_{r\theta}\sin\theta+\frac{1}{r}u_{\theta\theta}\cos\theta,\quad \frac{\partial\cos\theta}{\partial y}=-\frac{\sin\theta\cos\theta}{r},
obtemos (após simplificar)
\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{1}{r}u_{\theta}\cos\theta\Big) = -\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}u_{\theta} +\frac{1}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta +\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}\cos^{2}\theta.
Somando as contribuições:
u_{yy} = u_{rr}\sin^{2}\theta +\frac{2}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta +\frac{1}{r}u_{r}\cos^{2}\theta -\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}u_{\theta} +\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}\cos^{2}\theta.

Passo 6

Agora somamos u_{xx} e u_{yy}. Reunindo os termos obtidos nos passos 4 e 5:
  • Termos com u_{rr}:
u_{rr}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=u_{rr}.
  • Termos com u_{r\theta}:
-\frac{2}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta+\frac{2}{r}u_{r\theta}\sin\theta\cos\theta=0,
ou seja, cancelam.
  • Termos com u_{r}:
\frac{1}{r}u_{r}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=\frac{1}{r}u_{r}.
  • Termos com u_{\theta} (não derivadas):
\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}u_{\theta}-\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^{2}}u_{\theta}=0,
cancelam também.
  • Termos com u_{\theta\theta}:
\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)=\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}.
Somando tudo:
u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}.

Passo 7

Concluímos que a equação de Laplace u_{xx}+u_{yy}=0 escrita em coordenadas polares fica
u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0.
Interpretação rápida: u_{rr} é a curvatura radial, \frac{1}{r}u_{r} aparece por causa da variação da área dos anéis circulares com r, e \frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta} é a contribuição angular devidamente escalada.

Resposta

u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0

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