Prove que:
A for uma matriz quadrada, então A e
têm o mesmo polin io característico.
A for uma matriz quadrada, então A e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada
de ordem
, os polinômios característicos de
e de
são iguais. O conteúdo principal que vamos usar é a definição de polinômio característico e a propriedade de que a determinante de uma matriz é igual à determinante de sua transposta.
Passo 2
Definimos o polinômio característico de
como
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 3
De forma análoga, o polinômio característico de
é
Passo 4
Note que
porque a transposta da identidade é ela própria. Logo
Passo 5
Usamos a propriedade fundamental da determinante: para qualquer matriz quadrada
vale
Passo 6
Aplicando essa propriedade ao polinômio de
, obtemos
Resposta
Portanto,
, ou seja,
e
têm o mesmo polinômio característico.