Prove que:
A for uma matriz quadrada, então A e A^{t} têm o mesmo polin io característico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz quadrada A de ordem n, os polinômios característicos de A e de A^{t} são iguais. O conteúdo principal que vamos usar é a definição de polinômio característico e a propriedade de que a determinante de uma matriz é igual à determinante de sua transposta.

Passo 2

Definimos o polinômio característico de A como
\chi_{A}(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr),
onde I é a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

De forma análoga, o polinômio característico de A^{t} é
\chi_{A^{t}}(\lambda)=\det\bigl(A^{t}-\lambda I\bigr).

Passo 4

Note que
A^{t}-\lambda I \;=\; A^{t}-\lambda I^{t}
porque a transposta da identidade é ela própria. Logo
A^{t}-\lambda I \;=\; \bigl(A-\lambda I\bigr)^{t}.

Passo 5

Usamos a propriedade fundamental da determinante: para qualquer matriz quadrada M vale
\det\bigl(M^{t}\bigr)=\det(M).

Passo 6

Aplicando essa propriedade ao polinômio de A^{t}, obtemos
\chi_{A^{t}}(\lambda) =\det\bigl(A^{t}-\lambda I\bigr) =\det\bigl((A-\lambda I)^{t}\bigr) =\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\chi_{A}(\lambda).

Resposta

Portanto, \chi_{A^{t}}(\lambda)=\chi_{A}(\lambda), ou seja, A e A^{t} têm o mesmo polinômio característico.

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