De um triângulo A B C são dados o lado \overline{B C}=a e o ângulo A \widehat{B} C=\alpha.
(I) Determine, em cada um dos casos, que valores pode ter o lado A C para garantir a existência do triângulo;
(II) em que caso pode existir mais de uma solução.
(a) \alpha<90^{\circ}
(b) \alpha=90^{\circ}

Passo 1

Estamos num triângulo ABC em que conhecemos o lado \overline{BC}=a e o ângulo em B, ou seja \angle ABC=\alpha. Queremos saber para que valores do lado \overline{AC} (que chamaremos de b) o triângulo existe (caso I) e quando há possibilidade de duas soluções distintas (caso II). Esse é o famoso “caso ambíguo” do critério SSA (lado–ângulo–lado, com o ângulo não oposto ao lado dado).

Passo 2

Para entender a existência, coloque B na origem (0,0), faça \overline{BC} sobre o eixo x e o raio de uma circunferência de centro C=(a,0) e raio b deve cortar o raio que sai de B formando o ângulo \alpha com o eixo x. Esse corte dá a posição de A. Escrevendo a reta do raio por y = x\tan(\alpha) e impondo (x-a)^2 + y^2 = b^2 chega-se a uma equação quadrática em x cujo discriminante é
D = 4\cos^2(\alpha)\,\bigl(b^2 - a^2\sin^2(\alpha)\bigr).
Para existir interseção real é preciso D\ge0, i.e.
b^2 \;-\; a^2\sin^2(\alpha)\;\ge0 \quad\Longrightarrow\quad b \;\ge\; a\,\sin(\alpha).

Passo 3

Caso \alpha<90^\circ, \sin(\alpha)>0 e o critério de existência é
b \;=\;\overline{AC}\;\ge\;a\,\sin(\alpha).
Se b<a\sin(\alpha), o círculo não toca o raio e não há triângulo; se b=a\sin(\alpha), o círculo tangencia o raio e forma-se um único triângulo retângulo em A; para b>a\sin(\alpha) pelo menos um triângulo existe.

Passo 4

Dentro de \alpha<90^\circ há ambiguidade (duas soluções) quando o discriminante é positivo e os dois pontos de interseção caem no mesmo semi-raio de B. Isso ocorre exatamente se
a\,\sin(\alpha) < b < a.
Nesse intervalo há duas posições diferentes de A que satisfazem \overline{AC}=b e \angle ABC=\alpha.

Passo 5

Caso \alpha=90^\circ, temos um triângulo retângulo em B. Os lados que formam o ângulo reto são BC=a e AC=b, sem limite superior para b (basta b>0). A construção é única e não há ambiguidade: sempre existe exatamente um triângulo retângulo com BC=a e AC=b.

Resposta

(a) Se \alpha<90^\circ, existe triângulo se, e somente se,
\overline{AC}=b\;\ge\;a\,\sin(\alpha).
Há duas soluções exatamente quando
a\,\sin(\alpha) < b < a.
(b) Se \alpha=90^\circ, existe triângulo para todo
\overline{AC}=b>0,
e a solução é única (não há caso ambíguo).

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