(2 pontos) Dada a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]
encontre:
(a) os autovalores;
(b) os autovetores;
(c) uma basc para cada autócspaço;

Passo 1

O enunciado pede para, dada a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
(a) encontrar os autovalores de A;
(b) obter os autovetores correspondentes;
(c) indicar uma base para cada autôespaço.
O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente cálculo de autovalores via polinômio característico e resolução de sistemas homogêneos para achar autovetores.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & -2\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Usamos expansão pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) =(-\lambda)\bigl[(-\lambda)(2-\lambda)-1\cdot1\bigr] -2\bigl[1\cdot1 - (-\lambda)\cdot0\bigr].
Isso dá
-\lambda\bigl(\lambda^2-2\lambda-1\bigr)-2 =-\lambda^3+2\lambda^2+\lambda-2.
Multiplicando por -1, o polinômio característico fica
\lambda^3 -2\lambda^2 -\lambda +2 =0.

Passo 3

Fatorando por agrupamento:
\lambda^3 -2\lambda^2 -\lambda +2 =\bigl(\lambda^2-1\bigr)(\lambda-2) =(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2).
Logo, os autovalores são
\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = -1.

Passo 4

Para \lambda=2, resolvemos
(A-2I)x=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha vem -2x-2z=0\implies x=-z.
Da segunda linha, substituindo x=-z, obtemos -z-2y+z=0\implies y=0.
Logo x=-z,\\ y=0,\\ z livre. Tomando z=1, um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Esse gera o autôespaço referente a \lambda=2.

Passo 5

Para \lambda=1, temos
(A - I)x=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha -x-2z=0\implies x=-2z.
Da terceira linha y+z=0\implies y=-z.
A segunda linha dá a mesma relação x-y+z=0.
Tomando z=1, obtemos o autovetor
v_2 = \begin{pmatrix}-2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},
que gera o autôespaço de \lambda=1.

Passo 6

Para \lambda=-1, resolvemos
(A + I)x=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha x-2z=0\implies x=2z.
Da terceira linha y+3z=0\implies y=-3z.
A segunda linha confirma x+y+z=0.
Tomando z=1, fica o autovetor
v_3 = \begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix},
que gera o autôespaço de \lambda=-1.

Resposta

(a) Os autovalores são
2,\quad 1,\quad -1.
(b) Autovetores (até múltiplo escalar) são
\lambda=2:\;v_1 = (-1,0,1),\quad \lambda=1:\;v_2 = (-2,-1,1),\quad \lambda=-1:\;v_3 = (2,-3,1).
(c) Bases dos autôespaços:
E_{2}=\mathrm{span}\{(-1,0,1)\},\quad E_{1}=\mathrm{span}\{(-2,-1,1)\},\quad E_{-1}=\mathrm{span}\{(2,-3,1)\}.

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