Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em R.
Passo 1
O exercício pede pra gente provar que a função está bem definida em todos os reais e, além disso, satisfaz a equação diferencial . O conteúdo é séries de potências (pra ver convergência) e equações diferenciais (derivar termo a termo).
Passo 2
Pra mostrar que a série converge em , a gente usa o teste da razão nos termos . Calculamos
Como (2n+2)(2n+1)toinfty quando ntoinfty, o limite é zero e a série converge para todo x. Logo, f está bem definida em R.
Passo 3
Agora a gente deriva termo a termo (o que dá certo porque a série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto). Primeiro:
f'(x)=sumn=1^infty3^2n(2n)!,2n,x^2n-1
E de novo:
f''(x)=sumn=2^infty3^2n(2n)!,2n(2n-1),x^2n-2
Passo 4
Pra comparar com f(x), reindexamos em f'' usando k=n-1. Então n=k+1 e