Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty 3^2 n(2 n)! x^2 n está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime-9 y=0
em R.

Passo 1

O exercício pede pra gente provar que a função f(x)=sumn=0^infty3^2n(2n)!,x^2n está bem definida em todos os reais e, além disso, satisfaz a equação diferencial y''-9y=0. O conteúdo é séries de potências (pra ver convergência) e equações diferenciais (derivar termo a termo).

Passo 2

Pra mostrar que a série converge em R, a gente usa o teste da razão nos termos an=3^2n(2n)!,x^2n. Calculamos
|an+1an|=3^2n+2,|x|^2n+2/(2n+2)!3^2n,|x|^2n/(2n)! =9,x^2(2n+2)(2n+1)
Como (2n+2)(2n+1)toinfty quando ntoinfty, o limite é zero e a série converge para todo x. Logo, f está bem definida em R.

Passo 3

Agora a gente deriva termo a termo (o que dá certo porque a série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto). Primeiro:
f'(x)=sumn=1^infty3^2n(2n)!,2n,x^2n-1
E de novo:
f''(x)=sumn=2^infty3^2n(2n)!,2n(2n-1),x^2n-2

Passo 4

Pra comparar com f(x), reindexamos em f'' usando k=n-1. Então n=k+1 e
f''(x)=sumk=0^infty3^2(k+1)[2(k+1)]!,2(k+1)(2k+1),x^2k
Como [2(k+1)]!=(2k+2)(2k+1)(2k)!, cada coeficiente vira
3^2k+2,2(k+1)(2k+1)(2k+2)(2k+1)(2k)!=3^2k+2(2k)!=9,3^2k(2k)!=9ak
Logo f''(x)=9sumk=0^inftyak,x^2k=9f(x), ou seja f''-9f=0.

Resposta

A função f está bem definida em R e satisfaz f''(x)-9f(x)=0 para todo xinR, logo é solução da equação diferencial dada.

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