Prove que a função é harmônica, isto é: vec{\nabla}^{2}(f)=0, para:
f(x, y, z)=e^{y} \operatorname{Sen}(x)+e^{x} \operatorname{Cos}(y)

Passo 1

O enunciado pede verificar que a função
f(x,y,z)=e^{y}\sin(x)+e^{x}\cos(y)
é harmônica em \mathbb{R}^3, ou seja, satisfaz
\nabla^{2}f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=0.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais segundas de f em x, y e z e somá-las.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas em relação a x.
A derivada primeira é
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\sin(x)\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos(y)\bigr) =e^{y}\cos(x)+e^{x}\cos(y).
Agora a segunda derivada:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}\cos(x)+e^{x}\cos(y)\bigr) =-\,e^{y}\sin(x)+e^{x}\cos(y).

Passo 3

Agora as derivadas em relação a y.
A derivada primeira é
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\sin(x)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos(y)\bigr) =e^{y}\sin(x)-e^{x}\sin(y).
A segunda derivada é
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}\sin(x)-e^{x}\sin(y)\bigr) =e^{y}\sin(x)-e^{x}\cos(y).

Passo 4

Em relação a z, como f não depende de z, temos
\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=0.
Assim, o Laplaciano de f soma as três segundas derivadas:
\nabla^{2}f =\bigl(-e^{y}\sin(x)+e^{x}\cos(y)\bigr) +\bigl(e^{y}\sin(x)-e^{x}\cos(y)\bigr) +0 =0.

Resposta

\nabla^{2}f=0, logo f é harmônica.

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