Prove que a função é harmônica, isto é:
, para:
Passo 1
O enunciado pede verificar que a função
é harmônica em
, ou seja, satisfaz
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais segundas de
em
,
e
e somá-las.
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas em relação a
.
A derivada primeira é
A derivada primeira é
Agora a segunda derivada:
Passo 3
Agora as derivadas em relação a
.
A derivada primeira é
A derivada primeira é
A segunda derivada é
Passo 4
Em relação a
, como
não depende de
, temos
Assim, o Laplaciano de
soma as três segundas derivadas: