Prove que a função é harmônica, isto é: vec{\nabla}^{2}(f)=0, para:
f(x, y)=\operatorname{Cosh}(x) \operatorname{Sen}(y)+\operatorname{Senh}(x) \operatorname{Cos}(y)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=\operatorname{cosh}(x)\,\sin(y)+\operatorname{sinh}(x)\,\cos(y)
é harmônica, isto é, satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis:
\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0.
Vamos usar derivadas parciais e as fórmulas \tfrac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x), \tfrac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x), \tfrac{d}{dy}\sin(y)=\cos(y) e \tfrac{d}{dy}\cos(y)=-\sin(y).

Passo 2

Calculemos as derivadas em relação a x. Aplicando as regras acima:
\frac{\partial f}{\partial x} =\operatorname{sinh}(x)\,\sin(y)+\operatorname{cosh}(x)\,\cos(y).
Derivando de novo em x:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =\operatorname{cosh}(x)\,\sin(y)+\operatorname{sinh}(x)\,\cos(y).

Passo 3

Agora as derivadas em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\operatorname{cosh}(x)\,\cos(y)-\operatorname{sinh}(x)\,\sin(y).
Derivando uma segunda vez em y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =-\operatorname{cosh}(x)\,\sin(y)-\operatorname{sinh}(x)\,\cos(y).

Passo 4

Somando as segundas derivadas:
\nabla^2 f =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =\bigl[\operatorname{cosh}(x)\sin(y)+\operatorname{sinh}(x)\cos(y)\bigr] +\bigl[-\operatorname{cosh}(x)\sin(y)-\operatorname{sinh}(x)\cos(y)\bigr] =0.
Portanto, \nabla^2 f=0.

Resposta

Como \nabla^2 f=0, a função f(x,y) é harmônica.

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