Prove que a função é harmônica, isto é:
, para:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é harmônica, isto é, satisfaz a equação de Laplace em duas variáveis:
Vamos usar derivadas parciais e as fórmulas
,
,
e
.
Passo 2
Calculemos as derivadas em relação a
. Aplicando as regras acima:
Derivando de novo em
:
Passo 3
Agora as derivadas em relação a
:
Derivando uma segunda vez em
:
Passo 4
Somando as segundas derivadas:
Portanto,
.
Resposta
Como
, a função
é harmônica.