Calcule a integral de linha \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde:
\vec{F}=y \operatorname{Sen}(x) \widehat{i}-\operatorname{Cos}(x) \widehat{j} e C é o segmento de reta de \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) até (\pi, 1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde
\vec F(x,y)=y\operatorname{sen}(x)\,\hat\imath-\cos(x)\,\hat\jmath
e C é o segmento de reta de \bigl(\tfrac\pi2,0\bigr) até \bigl(\pi,1\bigr).
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e o principal é verificar se \vec F é conservativo, para então usar o teorema fundamental das integrais de linha com uma função potencial.

Passo 2

Verificamos se \vec F é conservativo, isto é, se em uma região simplesmente conexa vale
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\operatorname{sen} x\bigr) \;=\; \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-\cos x\bigr).
Calculando, temos
\frac{\partial}{\partial y}(y\operatorname{sen} x)=\operatorname{sen} x, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(-\cos x)=\operatorname{sen} x.
Como os dois são iguais e o domínio de \vec F é todo \mathbb R^2 (que é simplesmente conexo), concluímos que \vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\vec F, integramos
\frac{\partial f}{\partial x}=y\operatorname{sen} x
em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y) =\int y\operatorname{sen} x\,dx =-y\cos x + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos
\frac{\partial f}{\partial y}=-\cos x + g'(y)
e comparamos com a segunda componente de \vec F, que é -\cos x. Logo
-\cos x + g'(y) = -\cos x \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad g(y)=\text{constante}.
Podemos tomar essa constante como zero, então
f(x,y)=-y\cos x
é a nossa função potencial.

Passo 5

Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = f\bigl(\pi,1\bigr)-f\bigl(\tfrac\pi2,0\bigr).
Calculamos:
f(\pi,1)=-1\cdot\cos\pi=-(-1)=1, \qquad f\bigl(\tfrac\pi2,0\bigr)=-0\cdot\cos\!\tfrac\pi2=0.
Portanto
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r =1-0=1.

Resposta

1

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