Calcule a integral de linha
, onde:
e
é o segmento de reta de
até
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é o segmento de reta de
até
.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e o principal é verificar se é conservativo, para então usar o teorema fundamental das integrais de linha com uma função potencial.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e o principal é verificar se
Passo 2
Verificamos se
é conservativo, isto é, se em uma região simplesmente conexa vale
Calculando, temos
Como os dois são iguais e o domínio de
é todo
(que é simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
tal que
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora usamos
e comparamos com a segunda componente de
, que é
. Logo
Podemos tomar essa constante como zero, então
é a nossa função potencial.
Passo 5
Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Calculamos:
Portanto