Prove que a funçāo u=f(x+a t, y+b r), a e b constantes, é soluçāo da equaçāo as derivadas parciais
\frac{\partial u}{\partial t}=a \frac{\partial u}{\partial x}+b \frac{\partial u}{\partial y}

Passo 1

O enunciado dá a função u=f(x+a t,\,y+b r), com a e b constantes, e pede para provar que
\frac{\partial u}{\partial t}=a \frac{\partial u}{\partial x}+b \frac{\partial u}{\partial y}.
Observação importante: se a letra r for uma variável independente diferente de t, a igualdade acima não é verdadeira em geral. Presumo que houve um erro de digitação e que a segunda coordenada é y+b t (ou seja, r=t). Vou assumir portanto que
u(x,y,t)=f\big(x+a t,\;y+b t\big).

Passo 2

Vamos introduzir notação que facilita aplicar a regra da cadeia. Defina as novas variáveis
\xi = x+a t,\qquad \eta = y+b t.
Então podemos escrever
u(x,y,t)=f\big(\xi,\eta\big).
Aqui f é uma função de duas variáveis: \xi (primeiro argumento) e \eta (segundo argumento). Denotamos por f_{\xi} a derivada parcial de f em relação ao primeiro argumento (mantendo o segundo fixo) e por f_{\eta} a derivada parcial de f em relação ao segundo argumento (mantendo o primeiro fixo). Ou seja:
f_{\xi}(\xi,\eta)=\frac{\partial f}{\partial \xi}(\xi,\eta),\qquad f_{\eta}(\xi,\eta)=\frac{\partial f}{\partial \eta}(\xi,\eta).

Passo 3

Explicar a regra da cadeia para derivadas parciais (a ferramenta que vamos usar).
Se u(x,y,t)=f\big(\xi(x,y,t),\eta(x,y,t)\big), então a derivada parcial de u em relação a t é dada por
\frac{\partial u}{\partial t} = f_{\xi}(\xi,\eta)\,\frac{\partial \xi}{\partial t} + f_{\eta}(\xi,\eta)\,\frac{\partial \eta}{\partial t}.
Isto significa: para ver como u varia quando t muda, olhamos como f varia em cada uma das suas entradas ( f_{\xi} e f_{\eta}) e multiplicamos essas variações pelas taxas de variação das entradas \xi e \eta em função de t (ou seja, \partial\xi/\partial t e \partial\eta/\partial t).

Passo 4

Calculemos as derivadas de \xi e \eta em relação a t. Pelas definições:
\frac{\partial \xi}{\partial t} = \frac{\partial (x+a t)}{\partial t} = a, \qquad \frac{\partial \eta}{\partial t} = \frac{\partial (y+b t)}{\partial t} = b.
Substituindo na regra da cadeia obtemos
\frac{\partial u}{\partial t} = f_{\xi}(\xi,\eta)\,a + f_{\eta}(\xi,\eta)\,b = a\,f_{\xi}(\xi,\eta) + b\,f_{\eta}(\xi,\eta).

Passo 5

Agora relacionamos f_{\xi} e f_{\eta} com \partial u/\partial x e \partial u/\partial y. Aplicando a regra da cadeia para as derivadas parciais em x e em y:
\frac{\partial u}{\partial x} = f_{\xi}(\xi,\eta)\,\frac{\partial \xi}{\partial x} + f_{\eta}(\xi,\eta)\,\frac{\partial \eta}{\partial x}.
Mas \partial \xi/\partial x = \partial(x+a t)/\partial x = 1 e \partial \eta/\partial x = \partial(y+b t)/\partial x = 0. Logo
\frac{\partial u}{\partial x}=f_{\xi}(\xi,\eta).
Analogamente,
\frac{\partial u}{\partial y} = f_{\xi}(\xi,\eta)\,\frac{\partial \xi}{\partial y} + f_{\eta}(\xi,\eta)\,\frac{\partial \eta}{\partial y} = 0 + f_{\eta}(\xi,\eta)=f_{\eta}(\xi,\eta),
pois \partial \xi/\partial y=0 e \partial \eta/\partial y=1.

Passo 6

Substituindo f_{\xi}(\xi,\eta)=\dfrac{\partial u}{\partial x} e f_{\eta}(\xi,\eta)=\dfrac{\partial u}{\partial y} na expressão que obtivemos para \partial u/\partial t, resulta
\frac{\partial u}{\partial t}=a\,\frac{\partial u}{\partial x}+b\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Isso é exatamente o que queríamos provar.

Passo 7

Exemplo numérico curto para fixar a ideia. Seja f(\xi,\eta)=\xi^2+\eta^3. Então
u(x,y,t)=(x+a t)^2+(y+b t)^3.
Calcule:
\frac{\partial u}{\partial t}=2(x+a t)\,a + 3(y+b t)^2\,b,
\frac{\partial u}{\partial x}=2(x+a t),\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=3(y+b t)^2.
Logo
a\frac{\partial u}{\partial x}+b\frac{\partial u}{\partial y} = a\cdot 2(x+a t) + b\cdot 3(y+b t)^2,
que coincide com \dfrac{\partial u}{\partial t} acima. Funciona como checagem prática.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial t}=a \frac{\partial u}{\partial x}+b \frac{\partial u}{\partial y}.

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