Prove que a funçāo
e
constantes, é soluçāo da equaçāo as derivadas parciais
Passo 1
O enunciado dá a função
, com
e
constantes, e pede para provar que
Observação importante: se a letra
for uma variável independente diferente de
, a igualdade acima não é verdadeira em geral. Presumo que houve um erro de digitação e que a segunda coordenada é
(ou seja,
). Vou assumir portanto que
Passo 2
Vamos introduzir notação que facilita aplicar a regra da cadeia. Defina as novas variáveis
Então podemos escrever
Aqui
é uma função de duas variáveis:
(primeiro argumento) e
(segundo argumento). Denotamos por
a derivada parcial de
em relação ao primeiro argumento (mantendo o segundo fixo) e por
a derivada parcial de
em relação ao segundo argumento (mantendo o primeiro fixo). Ou seja:
Passo 3
Explicar a regra da cadeia para derivadas parciais (a ferramenta que vamos usar).
Se , então a derivada parcial de
em relação a
é dada por
Se
Isto significa: para ver como
varia quando
muda, olhamos como
varia em cada uma das suas entradas (
e
) e multiplicamos essas variações pelas taxas de variação das entradas
e
em função de
(ou seja,
e
).
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e
em relação a
. Pelas definições:
Substituindo na regra da cadeia obtemos
Passo 5
Agora relacionamos
e
com
e
. Aplicando a regra da cadeia para as derivadas parciais em
e em
:
Mas
e
. Logo
Analogamente,
pois
e
.
Passo 6
Substituindo
e
na expressão que obtivemos para
, resulta
Isso é exatamente o que queríamos provar.
Passo 7
Exemplo numérico curto para fixar a ideia. Seja
. Então
Calcule:
Logo
que coincide com
acima. Funciona como checagem prática.