Estude com relação a máximos e mínimos locais a funçāo
Passo 1
O enunciado pede estudar, em relação a máximos e mínimos locais, a função
dada por
As perguntas que precisamos responder são:
- Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é nulo).
- Classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita
está acima. - O domínio é todo o plano
(não há restrições explícitas).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de
. Breve lembrete didático: a derivada parcial em relação a
, escrita
ou
, é a derivada que se obtém tratando
como constante; similarmente para
. Esses objetos formam o gradiente
e os zeros do gradiente são os pontos críticos.
Calculemos:
Como
e
e
não dependem de
, suas derivadas em relação a
são
. Para os termos que dependem de
:
-
, -
, -
.
Portanto
Agora
. Os termos que dependem de
:
-
, -
, -
.
Logo
Passo 3
Encontrar pontos críticos = resolver o sistema
Da primeira equação isolamos
:
Isto facilita substituir na segunda equação para obter uma equação só em
.]
Passo 4
Substituindo
em
:
Vamos expandir passo a passo. Primeiro
Multiplicando por
:
Somando
e igualando a zero:
Passo 5
Resolvemos a quadrática
usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro computamos o discriminante
:
Como
, as raízes são
Portanto
Passo 6
Agora obtemos os correspondentes valores de
usando
.
Para
:
Logo o ponto crítico é
.
Para
:
Logo o ponto crítico é
.
(Se quiser conferir valores da função:)
E, por curiosidade, o valor em
é
(essa conta foi feita somando frações com denominador comum
.)
Passo 7
Para classificar os pontos críticos usamos o teste das segundas derivadas em
. Explicando didaticamente:
- Formam-se as segundas derivadas
. - A matriz Hessiana é
- Define-se o determinante
.
Regras do teste (segunda derivada): - Se
e então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.]
Passo 8
Calculemos as segundas derivadas:
Assim o determinante do Hessiano é
Avaliando em cada ponto crítico:
- Em
:
Pelo teste,
é um mínimo local.
- Em
:
Como
, este ponto é um ponto de sela.
Passo 9
Resumo final: encontramos exatamente dois pontos críticos e os classificamos conforme o teste das segundas derivadas:
-
é mínimo local. -
é ponto de sela.