Estude com relação a máximos e mínimos locais a funçāo f(x, y)=x^{2}+y^{3}+x y-3 x-4 y+5

Passo 1

O enunciado pede estudar, em relação a máximos e mínimos locais, a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=x^{2}+y^{3}+x y-3 x-4 y+5.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Encontrar todos os pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é nulo).
  • Classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita f(x,y) está acima.
  • O domínio é todo o plano \mathbb{R}^2 (não há restrições explícitas).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de f. Breve lembrete didático: a derivada parcial em relação a x, escrita \partial f/\partial x ou f_x, é a derivada que se obtém tratando y como constante; similarmente para f_y. Esses objetos formam o gradiente \nabla f=(f_x,f_y) e os zeros do gradiente são os pontos críticos.
Calculemos:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{3}+x y-3 x-4 y+5\bigr)
Como y^{3} e -4y e +5 não dependem de x, suas derivadas em relação a x são 0. Para os termos que dependem de x:
  • \frac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x,
  • \frac{\partial}{\partial x}(x y)=y,
  • \frac{\partial}{\partial x}(-3x)=-3.
Portanto
f_x=2x+y-3.
Agora \,f_y=\frac{\partial}{\partial y}(\cdots). Os termos que dependem de y:
  • \frac{\partial}{\partial y}y^{3}=3y^{2},
  • \frac{\partial}{\partial y}(x y)=x,
  • \frac{\partial}{\partial y}(-4y)=-4.
Logo
f_y=3y^{2}+x-4.

Passo 3

Encontrar pontos críticos = resolver o sistema
\begin{cases} f_x=0\\[4pt] f_y=0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} 2x+y-3=0\\[4pt] 3y^{2}+x-4=0 \end{cases}.
Da primeira equação isolamos y:
y=3-2x.
Isto facilita substituir na segunda equação para obter uma equação só em x.]

Passo 4

Substituindo y=3-2x em f_y=0:
3(3-2x)^{2}+x-4=0.
Vamos expandir passo a passo. Primeiro
(3-2x)^{2}=9-12x+4x^{2}.
Multiplicando por 3:
3(9-12x+4x^{2})=27-36x+12x^{2}.
Somando x-4 e igualando a zero:
27-36x+12x^{2}+x-4=0
12x^{2}-35x+23=0.

Passo 5

Resolvemos a quadrática \,12x^{2}-35x+23=0 usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro computamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-35)^{2}-4\cdot 12\cdot 23=1225-1104=121.
Como \Delta=121=(11)^{2}, as raízes são
x=\frac{35\pm 11}{2\cdot 12}=\frac{35\pm 11}{24}.
Portanto
x_{1}=\frac{35-11}{24}=\frac{24}{24}=1, \qquad x_{2}=\frac{35+11}{24}=\frac{46}{24}=\frac{23}{12}.

Passo 6

Agora obtemos os correspondentes valores de y usando y=3-2x.
Para x=1:
y=3-2\cdot 1=1.
Logo o ponto crítico é \,(1,1).
Para x=\dfrac{23}{12}:
y=3-2\cdot \frac{23}{12}=3-\frac{46}{12}=\frac{36}{12}-\frac{46}{12}=-\frac{10}{12}=-\frac{5}{6}.
Logo o ponto crítico é \!\left(\dfrac{23}{12},-\dfrac{5}{6}\right).
(Se quiser conferir valores da função:)
f(1,1)=1^{2}+1^{3}+1\cdot 1-3\cdot 1-4\cdot 1+5 =1+1+1-3-4+5=1.
E, por curiosidade, o valor em \left(\dfrac{23}{12},-\dfrac{5}{6}\right) é
f\!\left(\tfrac{23}{12},-\tfrac{5}{6}\right)=\frac{1763}{432}\approx 4{,}081\ldots
(essa conta foi feita somando frações com denominador comum 432.)

Passo 7

Para classificar os pontos críticos usamos o teste das segundas derivadas em \mathbb{R}^{2}. Explicando didaticamente:
  • Formam-se as segundas derivadas f_{xx},f_{xy},f_{yy}.
  • A matriz Hessiana é \,H=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}.
  • Define-se o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
    Regras do teste (segunda derivada):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 8

Calculemos as segundas derivadas:
f_{xx}= \frac{\partial}{\partial x}(f_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2x+y-3)=2,
f_{xy}= \frac{\partial}{\partial y}(f_x)=\frac{\partial}{\partial y}(2x+y-3)=1,
f_{yy}= \frac{\partial}{\partial y}(f_y)=\frac{\partial}{\partial y}(3y^{2}+x-4)=6y.
Assim o determinante do Hessiano é
D= f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=2\cdot(6y)-1=12y-1.
Avaliando em cada ponto crítico:
  1. Em \,(1,1):
D=12\cdot 1-1=11>0, \qquad f_{xx}=2>0.
Pelo teste, (1,1) é um mínimo local.
  1. Em \!\left(\dfrac{23}{12},-\dfrac{5}{6}\right):
D=12\cdot\left(-\dfrac{5}{6}\right)-1=-10-1=-11<0.
Como D<0, este ponto é um ponto de sela.

Passo 9

Resumo final: encontramos exatamente dois pontos críticos e os classificamos conforme o teste das segundas derivadas:
  • \,(1,1) é mínimo local.
  • \!\left(\dfrac{23}{12},-\dfrac{5}{6}\right) é ponto de sela.

Resposta

\,(1,1):\\ \text{mínimo local}í
\displaystyle \left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right):\\ \text{ponto de sela}

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