Estude com relação a máximos e mínimos locais a funçāo f(x, y)=x^{3}-4 x y+4 y^{2}-x+3 y+1

Passo 1

O enunciado pede que se estude, com respeito a máximos e mínimos locais, a função f(x,y)=x^{3}-4xy+4y^{2}-x+3y+1.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x^{3}-4xy+4y^{2}-x+3y+1.
  • O domínio natural implícito é todo o plano \mathbb{R}^{2} (função polinomial, diferenciável em todos os pontos).
  • A tarefa é identificar se existem pontos de máximo ou mínimo local e, caso existam, encontrá-los e classificá-los.

Passo 2

Conceito útil (explicado passo a passo e sem pular etapas):
  • Para uma função diferenciável de duas variáveis, um ponto interior que seja máximo ou mínimo local precisa satisfazer a condição necessária de estacionaridade: o gradiente deve ser o vetor nulo nesse ponto. O gradiente é o vetor das derivadas parciais.
  • Portanto, primeiro buscamos pontos (x,y) tais que
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr)=(0,0).
  • Se encontrarmos pontos críticos (onde o gradiente é zero), a classificação (mínimo, máximo ou sela) pode ser feita pelo teste da segunda derivada usando a matriz Hessiana
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{pmatrix},
e o discriminante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Regras do teste:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar essa rotina: (1) calcular derivadas parciais; (2) procurar pontos críticos; (3) classificar com Hessiana se houver.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (lembrete rápido: derivada parcial em relação a x trata y como constante; em relação a y trata x como constante).
  • Derivada parcial em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-4xy+4y^{2}-x+3y+1\bigr).
Aplicando a regra do poder e a linearidade:
\frac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2},\quad \frac{\partial}{\partial x}(-4xy)=-4y,\quad \frac{\partial}{\partial x}(4y^{2})=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(-x)=-1,\quad \frac{\partial}{\partial x}(3y)=0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
Portanto
f_x(x,y)=3x^{2}-4y-1.
  • Derivada parcial em relação a y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-4xy+4y^{2}-x+3y+1\bigr).
Aplicando regras:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{3})=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(-4xy)=-4x,\quad \frac{\partial}{\partial y}(4y^{2})=8y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(-x)=0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(3y)=3,\quad \frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
Portanto
f_y(x,y)=-4x+8y+3.

Passo 4

Procurar pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} f_x(x,y)=3x^{2}-4y-1=0,\\[4pt] f_y(x,y)=-4x+8y+3=0. \end{cases}
Vou isolar y na primeira equação para substituir na segunda. Da primeira:
3x^{2}-4y-1=0\quad\Longrightarrow\quad 4y=3x^{2}-1\quad\Longrightarrow\quad y=\dfrac{3x^{2}-1}{4}.
Isso é apenas manipulação algébrica (somar 1, dividir por 4).]

Passo 5

Substituir essa expressão de y em f_y=0. A segunda equação é
-4x+8y+3=0.
Substituindo y=\dfrac{3x^{2}-1}{4}:
  • Primeiro calcule 8y:
8y=8\cdot\frac{3x^{2}-1}{4}=2\bigl(3x^{2}-1\bigr)=6x^{2}-2.
  • Agora substitua em f_y:
-4x+(6x^{2}-2)+3=0.
Somando os termos constantes -2+3=1, obtemos
6x^{2}-4x+1=0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática 6x^{2}-4x+1=0. Usamos a fórmula do discriminante: para ax^{2}+bx+c=0 o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a=6,\\ b=-4,\\ c=1. Então
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot6\cdot1 = 16-24 = -8.
O discriminante é negativo ( \Delta=-8<0), portanto a equação não tem raízes reais. Conclusão: não existe x\in\mathbb{R} que satisfaça 6x^{2}-4x+1=0.

Passo 7

Interpretação lógica: do sistema de duas equações, ao tentar resolver chegamos a uma imposição impossível (quadrática sem solução real). Logo não existe ponto (x,y)\in\mathbb{R}^{2} tal que f_x(x,y)=0 e f_y(x,y)=0 simultaneamente. Em outras palavras, o gradiente \nabla f(x,y) nunca é o vetor zero.
Por que isso responde a existência de máximos/minimos locais?
  • Uma condição necessária (e clássica) para um ponto interior ser um máximo ou mínimo local é que o gradiente seja nulo nesse ponto. A função f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}, portanto qualquer máximo ou mínimo local interior deveria ser um ponto crítico (gradiente zero). Como não existem pontos críticos, não existem máximos locais nem mínimos locais em \mathbb{R}^{2}.

Passo 8

Complemento útil (intuição e verificação do comportamento global):
  • Para ver que a função não tem extremos globais também, observe o termo dominante x^{3}. Tomando y fixo (por exemplo y=0), temos f(x,0)=x^{3}-x+1, que tende para +\infty quando x\to+\infty e para -\infty quando x\to-\infty. Assim f é não limitada acima nem abaixo; não há máximos ou mínimos globais.
  • Mas a resposta pedida era sobre máximos e mínimos locais: a conclusão principal já está fechada pela ausência de pontos críticos.

Resposta

Não existem pontos críticos; portanto não há máximos locais nem mínimos locais.

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