Estude com relação a máximos e mínimos locais a funçāo
Passo 1
O enunciado pede que se estude, com respeito a máximos e mínimos locais, a função
.
Informações dadas:
- A função é
. - O domínio natural implícito é todo o plano
(função polinomial, diferenciável em todos os pontos). - A tarefa é identificar se existem pontos de máximo ou mínimo local e, caso existam, encontrá-los e classificá-los.
Passo 2
Conceito útil (explicado passo a passo e sem pular etapas):
- Para uma função diferenciável de duas variáveis, um ponto interior que seja máximo ou mínimo local precisa satisfazer a condição necessária de estacionaridade: o gradiente deve ser o vetor nulo nesse ponto. O gradiente é o vetor das derivadas parciais.
- Portanto, primeiro buscamos pontos
tais que
- Se encontrarmos pontos críticos (onde o gradiente é zero), a classificação (mínimo, máximo ou sela) pode ser feita pelo teste da segunda derivada usando a matriz Hessiana
e o discriminante
Regras do teste:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Vou aplicar essa rotina: (1) calcular derivadas parciais; (2) procurar pontos críticos; (3) classificar com Hessiana se houver.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (lembrete rápido: derivada parcial em relação a
trata
como constante; em relação a
trata
como constante).
- Derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra do poder e a linearidade:
Portanto
- Derivada parcial em relação a
:
Aplicando regras:
Portanto
Passo 4
Procurar pontos críticos resolvendo o sistema
Vou isolar
na primeira equação para substituir na segunda. Da primeira:
Isso é apenas manipulação algébrica (somar 1, dividir por 4).]
Passo 5
Substituir essa expressão de
em
. A segunda equação é
Substituindo
:
- Primeiro calcule
:
- Agora substitua em
:
Somando os termos constantes
, obtemos
Passo 6
Resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula do discriminante: para
o discriminante é
.
Aqui . Então
Aqui
O discriminante é negativo (
), portanto a equação não tem raízes reais. Conclusão: não existe
que satisfaça
.
Passo 7
Interpretação lógica: do sistema de duas equações, ao tentar resolver chegamos a uma imposição impossível (quadrática sem solução real). Logo não existe ponto
tal que
e
simultaneamente. Em outras palavras, o gradiente
nunca é o vetor zero.
Por que isso responde a existência de máximos/minimos locais?
- Uma condição necessária (e clássica) para um ponto interior ser um máximo ou mínimo local é que o gradiente seja nulo nesse ponto. A função
é diferenciável em todo , portanto qualquer máximo ou mínimo local interior deveria ser um ponto crítico (gradiente zero). Como não existem pontos críticos, não existem máximos locais nem mínimos locais em .
Passo 8
Complemento útil (intuição e verificação do comportamento global):
- Para ver que a função não tem extremos globais também, observe o termo dominante
. Tomando fixo (por exemplo ), temos , que tende para quando e para quando . Assim é não limitada acima nem abaixo; não há máximos ou mínimos globais. - Mas a resposta pedida era sobre máximos e mínimos locais: a conclusão principal já está fechada pela ausência de pontos críticos.
Resposta
Não existem pontos críticos; portanto não há máximos locais nem mínimos locais.