Prove que.
(g) Se f(x)=2 \operatorname{arccos} \sqrt{1-x}, então f^{\prime}(x)=\frac{-1}{\sqrt{x} \sqrt{1-x}}

Passo 1

O enunciado define
f(x)=2\operatorname{arccos}\bigl(\sqrt{1-x}\bigr)
e pede a derivada f'(x). Para isso vamos usar a regra da cadeia e a fórmula
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arccos}(u)\bigr]=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.

Passo 2

Colocamos
g(x)=\sqrt{1-x},
de modo que
f(x)=2\,\operatorname{arccos}\bigl(g(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=2\;\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arccos}(g(x))\bigr] =2\;\biggl(-\frac{g'(x)}{\sqrt{1-g(x)^2}}\biggr) =-\frac{2\,g'(x)}{\sqrt{1-g(x)^2}}.

Passo 3

Calculamos g'(x). Como g(x)=(1-x)^{1/2},
g'(x)=\frac12\,(1-x)^{-1/2}\cdot(-1) =-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x) e simplificando:
1-g(x)^2=1-(1-x)=x \quad\implies\quad \sqrt{1-g(x)^2}=\sqrt{x},
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f'(x) =-\frac{2\bigl(-\frac1{2\sqrt{1-x}}\bigr)}{\sqrt{x}} =\frac{1}{\sqrt{1-x}\,\sqrt{x}}.

Passo 5

Portanto a derivada obtida é
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}},
ou seja, o enunciado original que afirma
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}
contém um sinal trocado.

Resposta

A derivada correta é
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}\,\sqrt{1-x}}.

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