Prove que.
(f) Se f(x)=\frac{1-\cos 2 x}{2}, então f^{\prime}(x)=2 \operatorname{sen} x \cos x

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x) = \frac{1-\cos 2x}{2}
e pede para calcular f'(x). Vamos usar a regra da cadeia e a derivada básica de \cos u, que é \frac{d}{du}\cos u = -\sin u.

Passo 2

Escrevendo a derivada e aplicando a regra da cadeia em \cos 2x, temos
f'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cos 2x\Bigr) = -\tfrac{1}{2}\,\frac{d}{dx}(\cos 2x) = -\tfrac{1}{2}\bigl(-\sin 2x\cdot 2\bigr) = \sin 2x.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
\sin 2x = 2\sin x\cos x.

Passo 4

Substituindo essa identidade em f'(x)=\sin2x, concluímos
f'(x) = 2\sin x\cos x.

Resposta

f'(x) = 2\sin x\cos x.

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