Prove que:
i)
.
i)
Passo 1
Beleza, vamos provar que “para todo conjunto
, vale
”.
Conteúdo: teoria de conjuntos – definição de subconjunto.
O que precisamos:
Conteúdo: teoria de conjuntos – definição de subconjunto.
O que precisamos:
- Saber que
significa “para todo elemento , se então ”. - Entender quantificador universal e implicação.
Passo 2
Primeiro, para mostrar algo do tipo “para todo
vale alguma coisa”, a gente começa fixando um conjunto arbitrário.
Então seja um conjunto qualquer.
Queremos provar que . Pela definição de subconjunto, precisamos mostrar:
Então seja
Queremos provar que
Passo 3
Agora usamos o truque da implicação: para provar “se
então
”, a gente assume o antecedente e mostra o consequente.
- Suponha que
seja um elemento de . - Aí, por pura identidade, se
então – não tem mágica, é a mesma afirmação. - Logo, mostramos que sempre que um
está em , ele está em .
Resposta
Portanto, como escolhemos
e
de forma arbitrária e provamos a implicação, concluímos que para todo conjunto
vale