1. Prove a identidade: \tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}=2 \csc (2 \mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\tan x + \cot x = 2\,\csc(2x).
Vamos usar as identidades fundamentais: soma de frações, identidade pitagórica \sin^2x+\cos^2x=1 e a fórmula de ângulo duplo \sin(2x)=2\sin x\cos x.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a soma num único quociente:
\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\,\cos x}.

Passo 3

Usando \sin^2x+\cos^2x=1, simplificamos:
\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x\,\cos x}.

Passo 4

Como \sin(2x)=2\sin x\cos x, temos
\frac{1}{\sin x\,\cos x} = \frac{2}{2\sin x\,\cos x} = \frac{2}{\sin(2x)} = 2\,\csc(2x).

Resposta

\tan x + \cot x = 2\,\csc(2x).

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