1. Resolva no intervalo [0,2 \pi): 2 \sin ^{2} x-3 \sin x+1=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver no intervalo [0,2\pi) a equação
2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0.
O conteúdo é equação trigonométrica do tipo quadrática em \sin x. Vamos usar a substituição y = \sin x para achar os valores de y e depois recuperar x no intervalo dado.

Passo 2

Substituindo y = \sin x, ficamos com a equação
2y^2 - 3y + 1 = 0.
Calculamos o discriminante: \displaystyle \Delta = (-3)^2 - 4\cdot2\cdot1 = 9 - 8 = 1.
As raízes são
y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} \quad\Longrightarrow\quad y_1 = 1,\quad y_2 = \tfrac12.

Passo 3

Agora achamos os x em [0,2\pi):
  • Para \sin x = 1 temos x = \tfrac{\pi}{2}.
  • Para \sin x = \tfrac12 temos
    x = \tfrac{\pi}{6} e x = \tfrac{5\pi}{6}.

Resposta

x = \tfrac{\pi}{6},\;\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{5\pi}{6}.

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