1. Prove a identidade: \tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}=2 \csc (2 \mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\tan x + \cot x = 2\,\csc(2x).
O conteúdo usado será a definição de tangente e cotangente em termos de seno e cosseno, a identidade pitagórica \sin^2x+\cos^2x=1 e a fórmula do ângulo duplo \sin(2x)=2\sin x\cos x.

Passo 2

Escrevemos \tan x e \cot x em função de \sin x e \cos x:
\tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.

Passo 3

Colocamos sobre um denominador comum \sin x\cos x:
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\,\cos x}.
Pela identidade pitagórica \sin^2 x+\cos^2 x=1, isso fica
\frac{1}{\sin x\,\cos x}.

Passo 4

Usamos a fórmula do ângulo duplo para seno, \sin(2x)=2\sin x\cos x. Logo,
\frac{1}{\sin x\,\cos x} = \frac{2}{2\sin x\,\cos x} = \frac{2}{\sin(2x)} = 2\,\csc(2x).

Resposta

\tan x + \cot x = 2\,\csc(2x).

Exercícios relacionados