Prove as identidades:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
Informações e observações iniciais (pegar do enunciado):
- A expressão do lado esquerdo existe apenas quando
. - A função
existe quando . - Vamos checar se a igualdade é verdadeira e, se não for, encontrar a forma correta e demonstrá‑la passo a passo.
Passo 2
Vou derivar uma fórmula para
em termos de
e
. Começo lembrando duas fórmulas de ângulo duplo muito úteis:
e
Da segunda fórmula segue que
Agora uso a definição de tangente em meia‑ângulo:
Multiplicando numerador e denominador por
obtenho:
Portanto mostramos que
desde que
e
e
estejam definidos.
Passo 3
A igualdade que o enunciado propõe pode ser comparada com a fórmula que acabamos de obter. Tomando recíproco da fórmula do passo anterior:
Pelo fato de
ser a cotangente, isso é
e não
. Logo a identidade dada no enunciado é incorreta: o lado esquerdo é o recíproco de
.
Passo 4
Para reforçar a conclusão, mostro outra forma de chegar ao mesmo resultado usando a substituição de Weierstrass
. As fórmulas são
Substituindo em
dá
Mesma conclusão: o quociente dado é a cotangente de
.
Passo 5
Como resumo didático e prático (para a prova): decorre que as fórmulas corretas e úteis são
e, em consequência,
Portanto ao ver
pense em cotangente de
, e ao ver
pense em
. Vai dar certo na prova — respira, já era metade do caminho!