Prove as identidades:
\frac{1+\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\frac{1+\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Informações e observações iniciais (pegar do enunciado):
  • A expressão do lado esquerdo existe apenas quando \operatorname{sen}(x)\neq0.
  • A função \operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right) existe quando \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\neq0.
  • Vamos checar se a igualdade é verdadeira e, se não for, encontrar a forma correta e demonstrá‑la passo a passo.

Passo 2

Vou derivar uma fórmula para \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x}{2}\right) em termos de \operatorname{sen}(x) e \cos(x). Começo lembrando duas fórmulas de ângulo duplo muito úteis:
\operatorname{sen}(x)=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\operatorname{cos}\!\left(\frac{x}{2}\right)
e
\cos(x)=2\operatorname{cos}^2\!\left(\frac{x}{2}\right)-1.
Da segunda fórmula segue que
1+\cos(x)=2\operatorname{cos}^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Agora uso a definição de tangente em meia‑ângulo:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{cos}\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Multiplicando numerador e denominador por 2\operatorname{cos}\!\left(\frac{x}{2}\right) obtenho:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right) =\frac{2\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\operatorname{cos}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{2\operatorname{cos}^2\!\left(\frac{x}{2}\right)} =\frac{\operatorname{sen}(x)}{1+\cos(x)}.
Portanto mostramos que
\operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{1+\cos(x)},
desde que 1+\cos(x)\neq0 e \operatorname{sen}(x) e \operatorname{cos}\!\left(\frac{x}{2}\right) estejam definidos.

Passo 3

A igualdade que o enunciado propõe pode ser comparada com a fórmula que acabamos de obter. Tomando recíproco da fórmula do passo anterior:
\frac{1+\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\frac{1}{\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{1+\cos(x)}}=\frac{1}{\operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right)}.
Pelo fato de \dfrac{1}{\operatorname{tg}(\cdot)} ser a cotangente, isso é
\frac{1+\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{x}{2}\right),
e não \operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right). Logo a identidade dada no enunciado é incorreta: o lado esquerdo é o recíproco de \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x}{2}\right).

Passo 4

Para reforçar a conclusão, mostro outra forma de chegar ao mesmo resultado usando a substituição de Weierstrass t=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{x}{2}\right). As fórmulas são
\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \operatorname{sen}(x)=\frac{2t}{1+t^2}.
Substituindo em \dfrac{1+\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}
\frac{1+\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} =\frac{1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} =\frac{\dfrac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} =\frac{\dfrac{2}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} =\frac{1}{t} =\operatorname{cotg}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Mesma conclusão: o quociente dado é a cotangente de x/2.

Passo 5

Como resumo didático e prático (para a prova): decorre que as fórmulas corretas e úteis são
\operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{1+\cos(x)}=\frac{1-\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}
e, em consequência,
\frac{1+\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Portanto ao ver \dfrac{1+\cos x}{\operatorname{sen} x} pense em cotangente de x/2, e ao ver \operatorname{tg}(x/2) pense em \dfrac{\operatorname{sen}x}{1+\cos x}. Vai dar certo na prova — respira, já era metade do caminho!

Resposta

\displaystyle \frac{1+\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\operatorname{cotg}\!\left(\frac{x}{2}\right)
\displaystyle \operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{1+\cos(x)}

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