Sabendo que \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1, prove que
\operatorname{sen}^{4}(x)+\cos ^{4}(x)=1-2 \operatorname{sen}^{2}(x) \cos ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado dá a identidade \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1 e pede para provar que
\operatorname{sen}^{4}(x)+\cos^{4}(x)=1-2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A igualdade \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1 vale para todo x.
  • Precisa-se manipular essa igualdade para obter a expressão com potências quartas.

Passo 2

Ideia de resolução: como a igualdade dada envolve uma soma de duas quantidades iguais a 1, uma forma natural de obter termos com potências maiores é elevar ambos os lados ao quadrado. Isso é permitido porque a igualdade é verdadeira para todo x, então, ao elevar os dois lados ao quadrado, obtemos outra igualdade verdadeira.

Passo 3

Elevar ambos os lados ao quadrado:
\bigl(\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)\bigr)^{2}=1^{2}.
Usamos a fórmula do quadrado da soma: para quaisquer a e b,
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aqui faça a=\operatorname{sen}^{2}(x) e b=\cos^{2}(x). Aplicando a fórmula obtemos:
\operatorname{sen}^{4}(x)+2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)+\cos^{4}(x)=1.

Passo 4

Agora isolamos os termos \operatorname{sen}^{4}(x)+\cos^{4}(x). Subtraindo 2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x) de ambos os lados:
\operatorname{sen}^{4}(x)+\cos^{4}(x)=1-2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x).
Pronto — exatamente a identidade que queríamos demonstrar.

Passo 5

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): tome x=\pi/6. Então \operatorname{sen}(x)=\tfrac{1}{2} e \cos(x)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Calculando:
\operatorname{sen}^{4}(x)+\cos^{4}(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{16}+\tfrac{9}{16}=\tfrac{10}{16}=\tfrac{5}{8},
e
1-2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)=1-2\left(\tfrac{1}{4}\right)\left(\tfrac{3}{4}\right)=1-\tfrac{3}{8}=\tfrac{5}{8},
logo as duas expressões coincidem — extra confirmação de que a dedução está correta.

Resposta

\operatorname{sen}^{4}(x)+\cos^{4}(x)=1-2\operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{2}(x)

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