Sabendo que
, prove que
Passo 1
O enunciado dá a identidade
e pede para provar que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A igualdade
vale para todo . - Precisa-se manipular essa igualdade para obter a expressão com potências quartas.
Passo 2
Ideia de resolução: como a igualdade dada envolve uma soma de duas quantidades iguais a
, uma forma natural de obter termos com potências maiores é elevar ambos os lados ao quadrado. Isso é permitido porque a igualdade é verdadeira para todo
, então, ao elevar os dois lados ao quadrado, obtemos outra igualdade verdadeira.
Passo 3
Elevar ambos os lados ao quadrado:
Usamos a fórmula do quadrado da soma: para quaisquer
e
,
Aqui faça
e
. Aplicando a fórmula obtemos:
Passo 4
Agora isolamos os termos
. Subtraindo
de ambos os lados:
Pronto — exatamente a identidade que queríamos demonstrar.
Passo 5
Verificação numérica rápida (para ganhar confiança): tome
. Então
e
. Calculando:
e
logo as duas expressões coincidem — extra confirmação de que a dedução está correta.