Determine todas as soluções de \operatorname{sec} \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as soluções da equação
\operatorname{sec}\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=2.
Informações dadas e o que se busca:
  • A incógnita é x e procura-se todas as soluções reais (não foi dado outro domínio, então x\in\mathbb{R}).
  • A equação envolve a função secante \operatorname{sec}, cujo argumento é 2x+\dfrac{\pi}{3}.
  • Quer-se a família completa de soluções (todas as raízes, com o parâmetro inteiro de periodicidade).

Passo 2

Transformar a equação usando a relação entre secante e cosseno. Definição importante (aulas rápidas de trig):
  • Por definição \operatorname{sec} \theta=\dfrac{1}{\cos\theta}, desde que \cos\theta\neq0.
    Aplicando isso à equação, obtemos
\operatorname{sec}\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=2 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\!\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}.
Observação: \cos não é zero aqui, pois o valor exigido é \tfrac{1}{2}, então não há problema de indefinição.

Passo 3

Resolver a equação trigonométrica \cos\theta=\dfrac{1}{2} de forma geral.
  • Regra geral: se \cos\theta=a com |a|\le1, as soluções são \theta=2k\pi\pm\operatorname{arccos}(a), k\in\mathbb{Z}. Isso vem do fato de que o cosseno é uma função par ( \cos(-t)=\cos t) e tem período 2\pi.
  • No caso a=\dfrac{1}{2}, \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}. Logo as soluções para \cos\theta=\dfrac{1}{2} são
\theta = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Como exemplo concreto dentro de um período: \theta=\dfrac{\pi}{3} e \theta=\dfrac{5\pi}{3} (que é 2\pi-\dfrac{\pi}{3}).

Passo 4

Agora voltamos ao argumento \theta=2x+\dfrac{\pi}{3}. Substituindo a solução geral de \theta obtemos
2x+\frac{\pi}{3}=2k\pi\pm\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Resolver cada caso separadamente:
Caso +:
2x+\frac{\pi}{3}=2k\pi+\frac{\pi}{3} \quad\Rightarrow\quad 2x=2k\pi \quad\Rightarrow\quad x=k\pi.
Caso -:
2x+\frac{\pi}{3}=2k\pi-\frac{\pi}{3} \quad\Rightarrow\quad 2x=2k\pi-\frac{2\pi}{3} \quad\Rightarrow\quad x=k\pi-\frac{\pi}{3}.
Em ambos os casos k é um inteiro ( k\in\mathbb{Z}).

Passo 5

Juntando as duas famílias obtemos todas as soluções:
x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
e
x=k\pi-\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
  • Para k=0 na primeira família: x=0. Então 2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3} e \operatorname{sec}(\pi/3)=1/\cos(\pi/3)=1/(1/2)=2, funciona.
  • Para k=0 na segunda família: x=-\dfrac{\pi}{3}. Então 2x+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3} e \operatorname{sec}(-\pi/3)=1/\cos(-\pi/3)=1/\cos(\pi/3)=2, também funciona.

Resposta

x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
x=k\pi-\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}

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