Determine todas as soluções de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as soluções da equação
Informações dadas e o que se busca:
- A incógnita é
e procura-se todas as soluções reais (não foi dado outro domínio, então ). - A equação envolve a função secante
, cujo argumento é . - Quer-se a família completa de soluções (todas as raízes, com o parâmetro inteiro de periodicidade).
Passo 2
Transformar a equação usando a relação entre secante e cosseno. Definição importante (aulas rápidas de trig):
- Por definição
, desde que .
Aplicando isso à equação, obtemos
Observação:
não é zero aqui, pois o valor exigido é
, então não há problema de indefinição.
Passo 3
Resolver a equação trigonométrica
de forma geral.
- Regra geral: se
com , as soluções são , . Isso vem do fato de que o cosseno é uma função par ( ) e tem período . - No caso
, . Logo as soluções para são
Como exemplo concreto dentro de um período:
e
(que é
).
Passo 4
Agora voltamos ao argumento
. Substituindo a solução geral de
obtemos
Resolver cada caso separadamente:
Caso
:
Caso
:
Em ambos os casos
é um inteiro (
).
Passo 5
Juntando as duas famílias obtemos todas as soluções:
e
Passo 6
Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
- Para
na primeira família: . Então e , funciona. - Para
na segunda família: . Então e , também funciona.